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章末复习提升
素养一 数学抽象
数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达．在本章中，数学抽象体现在事件类型的判断中．
题组1 事件的关系与性质
1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A＝“第一次摸到白球”，事件B＝“第二次摸到白球”，事件C＝“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B为互斥事件 B．事件B与C为对立事件
C．事件A与B为非相互独立事件 D．事件A与C为相互独立事件
解析：选C．事件A与B可以同时发生，但是不放回地摸球，第一次的结果对第二次的结果有影响，所以不为互斥事件，为非相互独立事件，故A中说法错误，C中说法正确；事件B与C可以同时发生，所以不是对立事件，故B中说法错误；事件A与C一定不能同时发生，所以不是相互独立事件，故D中说法错误．故选C．
2．某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为A，B，不击中靶心分别记为，，事件“至少有一次击中靶心”可记为( )
A．A B．∪AB
C．B∪ D．B∪A∪AB
解析：选D．事件“至少有一次击中靶心”包括“第一次击中靶心，第二次不击中靶心”，“第一次不击中靶心，第二次击中靶心”和“两次都击中靶心”，即A∪B∪AB.故选D．
(1)判断事件是否互斥的步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果的发生会意味着两个事件同时发生，若是，则两个事件不互斥，否则两个事件互斥．
(2)判断事件对立的步骤
第一步，判断是不是互斥事件；
第二步，确定两个事件中必然有一个发生，否则只互斥，但不对立．
素养二 数学运算
数学运算让学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．在本章中，数学运算体现在概率计算中．
题组2 古典概型
1．(2022·高三名校联考信息卷)饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由题意，点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω＝{(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)}，共8个样本点，记“点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件C，则C＝{(下，下，右)}，由古典概型的概率计算公式可得P(C)＝.故选B．
2．袋中有形状、大小都相同的4个小球，
(1)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
解：(1)设“取出的2个球颜色不同”为事件A.
试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝.
(2)试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设“标号和为奇数”为事件B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝＝.
(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝＝.
利用公式法求解古典概型问题的步骤
第一步：定型，根据事件的性质，确定事件类型为古典概型；
第二步：定量，确定试验包含的样本点总数及所求事件包含的样本点数；
第三步：求值，代入古典概型的概率计算公式求解．
题组3 事件的相互独立性
1．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
解析：方法一：甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝.甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括①甲落入、乙未落入的概率为×＝；②甲未落入、乙落入的概率为×＝；③甲、乙均落入的概率为×＝.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为＋＋＝.
方法二：甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝.甲、乙两球均未落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
2．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ＝3时的概率．
解：(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足
解得
所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为，.
(2)P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(123)
＝P(A1)·P(A2)P(A3)＋(1－P(A1))(1－P(A2))(1－P(A3))
＝××＋××＝.
相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和；
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件；
(3)代入概率的积、和公式求解．
素养三 数据分析
数据分析主要表现为收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．在本章中，数据分析主要体现在概率与统计的综合应用．
题组4 概率与统计的综合应用
1．某医院某一天派医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：(1)由题意知派出医生不超过2人的概率为0.56，
从表格中可以看出派出医生不超过2人包括三部分，
所以0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
所以z＝0.04，y＝0.2.
2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为.
破解概率与统计图表综合问题的三个步骤
第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取；
第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化；
第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．
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章末复习提升
素养一 数学抽象
数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达．在本章中，数学抽象体现在事件类型的判断中．
题组1 事件的关系与性质
1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A＝“第一次摸到白球”，事件B＝“第二次摸到白球”，事件C＝“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B为互斥事件 B．事件B与C为对立事件
C．事件A与B为非相互独立事件 D．事件A与C为相互独立事件
2．某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为A，B，不击中靶心分别记为，，事件“至少有一次击中靶心”可记为( )
A．A B．∪AB
C．B∪ D．B∪A∪AB
(1)判断事件是否互斥的步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果的发生会意味着两个事件同时发生，若是，则两个事件不互斥，否则两个事件互斥．
(2)判断事件对立的步骤
第一步，判断是不是互斥事件；
第二步，确定两个事件中必然有一个发生，否则只互斥，但不对立．
素养二 数学运算
数学运算让学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．在本章中，数学运算体现在概率计算中．
题组2 古典概型
1．(2022·高三名校联考信息卷)饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( )
A． B．
C． D．
2．袋中有形状、大小都相同的4个小球，
(1)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
利用公式法求解古典概型问题的步骤
第一步：定型，根据事件的性质，确定事件类型为古典概型；
第二步：定量，确定试验包含的样本点总数及所求事件包含的样本点数；
第三步：求值，代入古典概型的概率计算公式求解．
题组3 事件的相互独立性
1．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
2．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ＝3时的概率．
相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和；
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件；
(3)代入概率的积、和公式求解．
素养三 数据分析
数据分析主要表现为收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．在本章中，数据分析主要体现在概率与统计的综合应用．
题组4 概率与统计的综合应用
1．某医院某一天派医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
破解概率与统计图表综合问题的三个步骤
第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取；
第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化；
第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．
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第十章 概 率
章末复习提升
01
知识网络 贯通
02
素养培优 突破
素养一 数学抽象
数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表达．在本章中，数学抽象体现在事件类型的判断中．
题组1 事件的关系与性质
1．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A＝“第一次摸到白球”，事件B＝“第二次摸到白球”，事件C＝“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A．事件A与B为互斥事件 B．事件B与C为对立事件
C．事件A与B为非相互独立事件 D．事件A与C为相互独立事件
√
解析：事件A与B可以同时发生，但是不放回地摸球，第一次的结果对第二次的结果有影响，所以不为互斥事件，为非相互独立事件，故A中说法错误，C中说法正确；
事件B与C可以同时发生，所以不是对立事件，故B中说法错误；
事件A与C一定不能同时发生，所以不是相互独立事件，故D中说法错误．故选C．
√
(1)判断事件是否互斥的步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果的发生会意味着两个事件同时发生，若是，则两个事件不互斥，否则两个事件互斥．
(2)判断事件对立的步骤
第一步，判断是不是互斥事件；
第二步，确定两个事件中必然有一个发生，否则只互斥，但不对立．
素养二 数学运算
数学运算让学生有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．在本章中，数学运算体现在概率计算中．
题组2 古典概型
1．(2022·高三名校联考信息卷)饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( )
√
2．袋中有形状、大小都相同的4个小球，
(1)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，求这2个球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1个白球，1个红球，2个黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
利用公式法求解古典概型问题的步骤
第一步：定型，根据事件的性质，确定事件类型为古典概型；
第二步：定量，确定试验包含的样本点总数及所求事件包含的样本点数；
第三步：求值，代入古典概型的概率计算公式求解．
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ＝3时的概率．
相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和；
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件；
(3)代入概率的积、和公式求解．
素养三 数据分析
数据分析主要表现为收集和整理数据、理解和处理数据、获得和解释结论、概括和形成知识．在本章中，数据分析主要体现在概率与统计的综合应用．
题组4 概率与统计的综合应用
1．某医院某一天派医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
解：由题意知派出医生不超过2人的概率为0.56，
从表格中可以看出派出医生不超过2人包括三部分，
所以0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解：由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44-0.2-0.04＝0.2.
所以z＝0.04，y＝0.2.
2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
解：因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
解：由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低
于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工
对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．
破解概率与统计图表综合问题的三个步骤
第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取；
第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化；
第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．
