2024年中考 数学专题提升38 与线段有关的最值问题（含答案）

与线段有关的最值问题
类型一　利用两点之间线段最短求最值
模型一　一动两定型(一线两点)
模型解读
1．直线异侧线段和最小值问题
已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P.
计算：PA＋PB的最小值．
作辅助线：连接AB交l于点P.
结论：最小值为AB的长．
原理：两点之间线段最短．
2．直线同侧线段和最小值问题
已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P.
计算：PA＋PB的最小值．
作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P.
结论：最小值为AB′的长．
原理：对称点的连线被对称轴垂直平分．2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是BC上一动点，连接AP，DP.
一、求线段和最值
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的高，E是AB边上的中点，F是AD边上的动点．
(1)请画出使得EF＋CF的值最小时点F的位置；
第1题图
(2)求线段EF＋CF的最小值．
(1)请画出使得AP＋DP的值最小时点P的位置；
第2题图
(2)求AP＋DP的最小值．
二、求线段差最值
模型解读
1．直线同侧线段差最大值问题
已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P.
计算：|PA－PB|的最大值．
作辅助线：连接AB并延长与直线l交于点P.
结论：最大值为AB的长．
原理：两边之差小于第三边．
2．直线异侧线段差最大值问题
已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P.
计算：|PA－PB|的最大值．
作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P.
结论：最大值为AB′的长．3. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝10，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M是DE的中点，在BC上有一动点N，
(1)请画出使得|AN－MN|的值最大时点N的位置；
第3题图
(2)当|AN－MN|有最大值时，求△ANC的面积．
4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD交于点O，BD＝4，E为OD的中点，F为AB上一点，且AF＝3BF，P为AC上一动点，连接PE，PF.
(1)请画出使得|PF－PE|的值最大时点P的位置；
第4题图
(2)求|PF－PE|的最大值．
模型二　两动一定型(一点两线)
模型解读
已知：点P是∠AOB内部的一定点，M为OA上一动点，N为OB上一动点．
计算：△PMN周长的最小值．
作辅助线：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N.
结论：最小值为P′P″的长．
5. 如图，在四边形ABCD中，∠A ＝60°，∠B＝∠D＝ 90°，AB＝AD ＝，M，N分别是AB，AD上的动点．
(1)请画出使得△CMN周长的值最小时点M，N的位置；
第5题图
(2)求△CMN周长的最小值．
类型二　利用垂线段最短求最值
模型一　一动一定型
模型解读
已知：如图，直线l外一定点A，直线l上有一动点B.
计算：A，B之间距离的最小值．
作辅助线：过点A作AB⊥l于点B.
结论：此时AB最小．
原理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，D为线段BC上的一点．
(1)请在图中画出当线段AD最小时点D的位置；
第6题图
(2)求AD的最小值．
模型二　两动一定型
模型解读
已知：∠AOB内部或边上一定点P，OA上一动点M，OB上一动点N.
计算：PN＋MN的最小值．
作辅助线：作定点P关于动点N所在直线的对称点P′，过点P′向动点M所在直线作垂线．
结论：PN＋MN的最小值为P′M.
注：也可作点P关于OA的对称点P″，再过点P″作OB的垂线即可．
原理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
7. 如图，在菱形ABCD中，AD＝2，∠BCD＝60°，P为对角线AC上一动点，Q为边BC上一动点．
(1)请在图中画出当线段BP＋PQ最小时点P，Q的位置；
第7题图
(2)求BP＋PQ的最小值．
基础过关
1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为(　　)
A. ＋ B. ＋ C. 2＋ D. 2＋
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，BD是AC边上的高，点E是BC边的中点，F是BD上一点，则AF＋EF的最小值为__________．
第2题图
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为__________．
第3题图　
4. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，M，N分别是边AB，AD上的动点，连接CM，CN，MN，∠CMN＋∠CNM＝124°，当△CMN的周长最小时，则∠BCD的度数为______________．
第4题图
5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，BC＝5，点P为AB上一点，Q为△ABC内部一点，且S△ABQ∶S△QBC＝3∶5，则PQ＋AQ的最小值为__________．
第5题图　　　　
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BC＝CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC与BD交于点E，点F是BC的中点，G是AE上一点，且EG＝，P是BD上的动点，则PF－PG的最大值为__________．
第6题图
7. 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
(1)阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD A′B′C′D′(如图①)，因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图①，已知正方体ABCD A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
(2)如图②，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图②的展开图，这个图形是________；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM＋PN的最小值．
图①
　
图②
　
甲
　
乙
　
丙
第7题图
与线段有关的最值问题
1. 解：(1)如解图，点F′即为所求；
【作法提示】连接CE交AD于点F′，此时点F′即为EF＋CF的值最小时点F的位置．
　
第1题解图
(2)如解图，∵EF＋CF≥CE，
∴当点F与点F′重合时，EF＋CF有最小值，最小值为线段CE的长，
∵等边△ABC的边长为4，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，AB＝AC＝4，
∴AE＝AB＝2，
∴CE＝＝＝2，
即EF＋CF的最小值为2.
2. 解：(1)如解图，点P′即为所求；
【作法提示】作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P′，此时点P′即为AP＋DP的值最小时点P的位置．
第2题解图
(2)如解图，连接AP′，当点P与点P′重合时，AP＋DP有最小值，最小值为A′D的长，
由对称的性质，得AA′＝2AB＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A′AD＝90°，AD＝BC＝6，
∴在Rt△AA′D中，A′D＝＝＝10，
即AP＋DP的最小值为10.
3. 解：(1)如解图，点N′即为所求；
【作法提示】连接AM并延长交BC于点N′，此时点N′即为|AN－MN|的值最大时点N的位置．
第3题解图
(2)如解图，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∵M是DE的中点，
∴AM⊥DE，
∴AM垂直平分线段BC，
∵|AN－MN|≤AM，
∴当A，M，N三点共线，即N与N′重合时，|AN－MN|的值最大，此时S△ANC＝S△ABC＝×10＝5.
4. 解：(1)如解图，点P′即为所求；
【作法提示】取OB中点E′，作射线FE′ 交AC于点P′，此时点P′即为|PF－PE|的值最大时点P的位置．
第4题解图
(2)如解图，连接PE′，易得PE＝PE′，
∴|PF－PE|＝|PF－PE′|≤FE′，
当P与P′重合，即P，E′，F三点共线上时，|PF－PE′|有最大值，即为FE′的长，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝4，
∴OD＝OB＝2，
∵点E′为OB的中点，
∴E′B＝1，
又∵AF＝3BF，
∴BF＝AB＝1，
∴BF＝E′B，
∵∠ABD＝60°，
∴△BE′F为等边三角形，
∴E′F＝FB＝1，
∴|PF－PE|的最大值为1.
5. 解：(1)如解图，点M，N即为所求；
【作法提示】分别作点C关于AB，AD的对称点E，F，连接EF交AB，AD于点M，N.
第5题解图
(2)如解图，连接BD，由作图可知，CM＝EM，CN＝FN，
∴CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN≥EF，
∴当点E，M，N，F在同一条直线上时，EM＋MN＋FN的值最小，最小值为线段EF的长，
∵B，D分别是CE，CF的中点，
∴此时BD是△CEF的中位线，
∴EF＝2BD，
∵∠A＝60°，AB＝AD＝，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝，
∴EF＝2，
∴CM＋MN＋CN的最小值为2，
∴△CMN周长的最小值为2.
6. 解：(1)如解图，点D′即为所求；
　第6题解图
(2)如解图，当AD⊥BC，即点D与点D′重合时，AD的值最小，
∵∠ABC＝45°，∠AD′B＝90°，AB＝4，
∴AD′＝AB·sin 45°＝2，
∴AD的最小值为2.
7. 解：(1)如解图，点P′，Q′即为所求；
【作法提示】由菱形的对称性可知，点B关于直线AC的对称点为点D.如解图，过点D作DQ′⊥BC于点Q′，交AC于点P′，∵点B，D关于直线AC对称，连接DP，∴BP＝DP，∴BP＋PQ＝DP＋PQ≥DQ′，∴当点P，Q分别与点P′，Q′重合时，BP＋PQ值最小．
第7题解图
(2)由作图可知BP＋PQ＝DP＋PQ≥DQ′，
∴BP＋PQ值最小在点Q与Q′重合时取，
∵AD＝CD＝2，∠BCD＝60°，
∴DQ′＝CD sin 60°＝2sin 60°＝2×＝，
∴BP＋PQ的最小值为.
基础过关
1. A　【解析】 如解图，作点D关于OB的对称点D′，连接AD′，CD′，OD′，DD′，则CD＝CD′，OD＝OD′，∠DOB＝∠BOD′，∴AC＋CD＝AC＋CD′≥AD′，∴当A，C，D′三点共线时，AC＋CD取得最小值，即阴影部分的周长最小，最小值为AD′的长与长的和．∵OD平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠DOB＝∠AOB＝30°，∴∠BOD′＝30°，∴∠AOD′＝90°.∵OA＝1，∴在Rt△OAD′中，OA＝OD′＝1，∴AD′＝＝，的长为＝，∴阴影部分周长的最小值为＋.
第1题解图
2. 　【解析】 如解图，当点F是AE与BD的交点时，AF＋EF取得最小值．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴BC＝AB·tan 60°＝2.∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝，∴AE＝＝＝，即AF＋EF的最小值为.
第2题解图
3. 3　【解析】 如解图，连接CP.∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴AB＝＝＝6.∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四边形CDPE是矩形，∴DE＝CP.由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，此时AP＝BP，∴CP＝AB＝3，∴DE的最小值为3.
第3题解图
4. 118°　【解析】 如解图，作点C分别关于AB，AD的对称点E，F，连接EF.∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴CM＝EM，CN＝FN，∴∠E＝∠MCB，∠F＝∠NCF，∴△CMN周长＝CM＋MN＋CN＝EM＋MN＋FN＝EF，当点E，M，N，F共线时，此时△CMN周长有最小值．∵∠CMN＝∠E＋∠MCB＝2∠E，∠CNM＝∠F＋∠NCF＝2∠F，∴∠CMN＋∠CNM＝2(∠E＋∠F).∵∠CMN＋∠CNM＝124°，∴∠E＋∠F＝62°，∴∠BCD＝180°－62°＝118°.
第4题解图
5. 　【解析】 如解图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝3，BC＝5，∴AB∶BC＝3∶5，∵S△ABQ∶S△QBC＝3∶5，∴S△ABQ∶S△QBC＝AB∶BC，∴点Q在∠ABC的平分线上．在BC上截取BP′＝BP，连接AP′，P′Q，∴△QPB≌△QP′B(SAS)，∴QP＝QP′，∴QA＋QP′≥AP′≥AD，∴当点P′与点D重合，A，Q，D三点共线时，PQ＋AQ取得最小值，最小值为AD的长．∵∠ABC＝45°，AB＝3，∴AD＝，∴PQ＋AQ的最小值为.
第5题解图
6. 3　【解析】 如解图，作点G关于BD的对称点G′，连接PG′，则PG＝PG′，∴PF－PG＝PF－PG′，∴当点P，F，G′三点共线，即点P位于FG′的延长线与BD的交点P′处时，PF－PG有最大值，最大值为FG′的长．∵AB＝AD＝6，BC＝CD＝8，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC＝＝10，∴BE＝＝，∴AE＝＝.∵EG′＝EG＝，∴AG′＝AE＋EG′＝5，∴点G′是AC的中点．∵点F是BC的中点，∴FG′＝AB＝3，∴PF－PG的最大值为3.
第6题解图
7. 解：(1)如解图①，连接BC′.
由题意易知，A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°.
∵AC∥A′C′，
∴∠BA′C′是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角的大小为60°；
(2)①丙；
②如解图②，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于点P，连接PN，此时PM＋PN的值最小，最小值为线段MK的长，过点M作MJ⊥NK于点J.
由题意知，在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5＋3＝8，JK＝8－(4－2)＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM＋PN的最小值为10.
图①
　
图②
第7题解图