2024年中考 数学专题提升40 概　率（含答案）

概　率
1. 下列事件：
①400人中至少有两人的生日在同一天；　　　　　　　②太阳从西边升起；
③买一张电影票，座位号是奇数； ④直角三角形的两个锐角和为90°；
⑤任意掷两枚均匀的骰子，朝上面的点数之和为18; ⑥打开电视机，正在播放新闻联播．
其中是必然事件的有________，不可能事件的有________，随机事件的有________．(填序号)
2.在一个不透明的箱子里装有3个红球和若干个白球，每个小球除颜色外完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75.
(1)用频率估计概率，估计箱子里白球的个数为________个；
(2)现从该箱子里随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________；
(3)从该箱子里随机摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里摇匀，再随机摸出1个小球，用画树状图或列表的方法记录颜色，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．
知识逐点过
考点1 　事件的分类
确定事件 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，概率P＝①________
不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件，概率P＝②________
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率在0～1之间
考点2 　概率的计算
公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝③______
列表法 当一次试验涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法
画树状图法 当一次试验涉及两个或更多的因素(例如从三个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法
用频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)＝p
几何概型 一般是用几何图形的面积(长度、时间)之比来求概率，计算公式为：P(A)＝
【温馨提示】1.概率的应用：游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平；2．计算两步概率的方法：列表或画树状图
真题演练
命题点1 概率的计算
1. 某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为(　　)
A. B. C. D.
2. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是(　　)
A. B. C. D.
命题点2 　统计与概率结合
4. 为了解某校九年级全体男生1 000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A，B，C，D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，根据图表信息解答下列问题：
(1)x＝________，y＝________，扇形图中表示C的圆心角的度数为________度；
(2)甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
　成绩等级扇形统计图
第4题图
基础过关
1. 下列事件中的必然事件是(　　)
A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2. 有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是(　　)
A. (黑桃) B. (红心) C. (梅花) D. (方块)
第2题图　　　
3. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)(　　)
A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8
4. 某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是(　　)
A. B. C. D.
5. 五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖(指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘).转动转盘一次，获得一等奖的概率为(　　)
A. 1 B. C. D.
第5题图
6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上，第二次反面向上的概率是(　　)
A. B. C. D.
7. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为(　　)
A. B.
C. D.
　第7题图
8. 有4个外观完全相同的试剂瓶，分别装有稀硫酸溶液、稀盐酸溶液、氯化钠溶液、碳酸钠溶液．小明从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则小明抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是(　　)
A. B. C. D.
9. 某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是__________．
10. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝__________．
综合提升
11. 打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
　　
第11题图
根据图中信息，请回答下列问题：
(1)条形图中的m＝______，n＝______，文学类书籍对应扇形圆心角等于______度；
(2)若该校有2 000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．?
　概　率
1. ①④，②⑤，③⑥
2. 解：(1)1；
【解法提示】∵通过重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75，∴估计摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，根据题意，得：＝0.75，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，∴估计箱子里白球的个数为1个．
(2)；
【解法提示】由题可知摸到红球的频率大约稳定在0.75，则摸到红球的概率为.
(3)画树状图如解图：
第2题解图
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球恰好颜色不同的结果有6种，
∴P(两次摸出的小球颜色恰好不同)＝＝.
真题演练
1. C　2. B
3. B　【解析】列表如下：
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由列表可知，共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，∴P(两枚骰子向上的点数之和为7)＝＝.
4. 解：(1)4，40，36；(3分)
【解法提示】由扇形统计图可知，等级B所占百分比为25%，由频数分布表可知，等级B的频数为10，则y＝＝40，x＝40－24－10－2＝4，C的圆心角的度数为×360°＝36°.
(2)画树状图如解图：
第4题解图
(5分)
或列表如下：
甲 乙 丙
甲 (甲，乙) (甲，丙)
乙 (乙，甲) (乙，丙)
丙 (丙，甲) (丙，乙)
(5分)
由树状图或列表可知，共有6种等可能的结果，其中同时抽到甲、乙的结果有2种，(6分)
∴P(同时抽到甲、乙)＝＝.(7分)
基础过关
1. A　2. B
3. C　【解析】由表中数据可知，移植树苗棵树越多，成活的频率越稳定在0.905，精确到0.1，即成活的概率为0.9.
4. B
5. B　【解析】∵红色的有1个扇形，∴转动一次转盘指针恰好落在红色区域的概率为，∴P(转动一次转盘获得一等奖)＝.
6. A　【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中第一次正面向上，第二次反面向上的结果有1种，∴P(第一次正面向上，第二次反面向上)＝.
第6题解图
7. B　【解析】由题图可设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为16×12＋4×()2＝16＋9＝25，∴阴影部分的面积为2×12＋2×()2＝2＋＝，∴P(点P落在阴影部分)＝＝.
8. C　【解析】 分别记稀硫酸溶液、稀盐酸溶液、氯化钠溶液、碳酸钠溶液为A，B，C，D，根据题意，列表如下，由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到的2个都是酸性溶液的结果有2种，∴P(小明抽到的2个都是酸性溶液)＝＝.
A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
9. 　【解析】∵第一小组共有5位同学，其中男同学有2位，∴P(抽到男同学)＝.
10. 9　【解析】根据题意，列出方程＝，解得n＝9.经检验，n＝9是原分式方程的解．
11. 解：(1)18，6，72；
【解法提示】本次调查的学生人数为4÷8%＝50(名)，由扇形统计图可知最喜欢阅读的书籍为科技类的学生占36%，∴m＝50×36%＝18，∴n＝50－18－10－12－4＝6，由条形统计图可知最喜欢阅读的书籍为文学类的学生有10名，∴文学类书籍对应的扇形的圆心角度数为360°×＝72°.
(2)2 000×＝480(名).
答：估计该校最喜欢阅读政史类书籍的学生人数有480名；
(3)画树状图如解图，
第11题解图
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
∴P(甲、乙两位同学选择相同类别书籍)＝.