重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测
高一数学答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．D 4．D
5．C 6．D 7．C 8．A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．CD 10．ABC 11．BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
16．（1）.
令，解得：，则的定义域为，关于原点对称，
当时，，所以为偶函数.
任取，且，
则
因为，所以，则，
又因为，则，所以，所以在上单调递减.
由偶函数的性质知在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式等价于.
由（1）得，当时，在时取得最大值0.
又，当且仅当时，取得最小值2，
所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.
17．（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，则，
同理由可得，
所以，当且仅当时取等号．
（2）因为x，y，，所以，，，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为x，y，，且，所以，，
所以，，所以．
18．（1）的定义域为，因为，所以是奇函数.
因为是增函数，所以是增函数，
由得，即，
所以，解得，即原不等式的解集为；
（2）由得，
①当，即时，等式成立，所以为的一个零点.
②当，即时，
即，
令，则，因为，所以为偶函数，
当时，令，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，设，则在上单调递减，在上单调递增，，，又因为，，所以当时，方程无解，所以没有零点；当时，方程的解，此时有2个解，所以有2个零点；当时，方程有两个解，不妨设为，，且，此时有4个解，所以有4个零点；当时，方程有一个解，且，此时有2个解，所以有2个零点.
综上所述：当时，有1个零点；当或时，有3个零点；当时，有5个零点.
19．（1）
；
（2）由条件，，，
令
，
令，
则，，且，
从而，
令，则，，且，．
所以，．
从而，即．重庆市2023-2024学年（下）2月月度质量检测
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于两个不相等的实数a b，规定符号表示a b中的较大值，如：.按照这个规定，方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．中，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，若当时，恒成立，则的最大值是（ ）
A．-6 B．-2 C．2 D．6
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若且，，，、，，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数
C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数
11．已知函数在区间上有且仅有2个极小值点，且最多有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．在上有且仅有2个极大值点 B．如果是正整数，则或5
C．的图象在上没有对称轴 D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数其中e是自然对数的底数，则 ．
13．设，，若，则 ．
14．已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实数解，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
16．（15分）已知，函数，.
(1)判断函数的单调性，并用定义证明；
(2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．（15分）已知x，y，．
(1)若，证明：；
(2)若，证明．
18．（17分）已知函数.
(1)解不等式；
(2)讨论函数的零点个数.
19．（17分）设是角的终边上任意一点，其中，，并记．若定义，，．
(1)求证是一个定值，并求出这个定值；
(2)求函数的最小值．
