湖南省娄底市新化县2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题（含答案）

新化县2023-2024学年高二上学期期末质量监测
数学
考试范围（选择性必修第一册、第二册）
时量120分钟 分值150分
第I卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，且，若，则等于（ ）
A． B．0 C． D．1
5．已知双曲线的左，右焦点分别是，点P在双曲线C上，且，则双曲线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为2，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，也是毛泽东同志诞辰130周年，那么据此推算，毛泽东同志诞辰的年份是（ ）
A．癸已年 B．癸丑年 C．辛丑年 D．辛卯年
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
10．直线中，已知．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线，则下列说法正确的为（ ）
A．若该曲线是双曲线方程，则，或
B．若则该曲线为椭圆
C．若该曲线离心率为，则
D．若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率
12．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（ ）
A．曲线D经过第三象限
B．曲线D关于直线轴对称
C．对任意，曲线D与直线一定有公共点
D．对任意，曲线D与直线一定有公共点
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过两点的直线的方程为___________．
14．已知向量，则___________．
15．设函数，则曲线在点处的切线方程为___________．
16．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则m的值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。17题10分，其余各题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线经过点．
（1）若与直线垂直，求的方程；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
18．已知圆．
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线与圆M交于A，B两点，且，求C的值．
19．已知数列满足．
（1）求证：为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
20．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点D，E分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面ABE所成角的正弦值．
21．己知椭圆的一个焦点为，且．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点F的直线交椭圆C于点M，N．记和的面积分别为和．当时，求直线MN的方程．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于x的不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数m的取值范围．
新化县2023-2024学年高二上学期期末质量监测
数学参考答案
单项选择题（8*5=40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B D D A
8．A
详解：依题意可知，天干的周期为，地支的周期为，
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的天干也是癸；
因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的地支为巳，
所以毛泽东同志诞辰的年份是“癸巳年”.故选：A.
多项选择题（4*5=20分）
题号 9 10 11 12
答案 BD AC AD BD
11.解：对于A，若该曲线是双曲线方程，则解得，或，A正确；
对于B，当时，曲线方程为，表示圆，B错误；
对于C，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆，
当焦点在x轴上时，，解得，
当焦点在y轴上时，，解得，C错误；
对于D，若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，解得，
，
因为，则，所以，
所以，D正确.
12．解：当时, 方程为
当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，A不正确；
将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，B正确；
当,联立其中，
将代入得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，C错误;
联立可得有解,
设, ,
当时, 在单调递增, 单调递减,值域为所以成立,
当时成立.
当时, ,单调递增,
,所以成立,
所以曲线与直线一定有公共点，故D选项正确.
故答案为：BD
三、填空题（4*5=20分）
13．，14．或，15．，16.2022
16．解：由已知得，且，所以，
，
，
累加整理可得；
又因为，即是该数列的第项，
所以.
四、解答题（共70分）
17．解：（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；……5分
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或. …………10分
18．解：（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．…………6分
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
…………12分
19．解：（1）因为，
所以，
又，故为等比数列，首项为1，公比为2；……5分
（2）由（1）可知，，故，
，
故
，
令①，
则， …………8分
其中②，
①-②得，
，
故，
. …………12分
20．解：（1）取的中点，连接，
分别为的中点，
，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面． ……6分

（2）取的中点，则．
以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
．

所以，
设平面的法向量为．
则即
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为． …………12分
21．解：（Ⅰ）依题意，椭圆的半焦距，（1分）
所以．
解得．（2分）
所以．（3分）
所以椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，其方程为．
此时，或．
所以，，即，不合题意．（5分）
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由得．（6分）
设，，，，则，．（8分）
因为，，
所以
．
令，解得．（11分）
所以直线的方程为，或．（12分）
22．解：（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，时；
当时，时，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．…………5分
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数m的取值范围为． …………12分