2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第1-2节）基础卷
一、选择题
1．如图，已知等边，直线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·阿图什期末）在等腰三角形中，若，，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18或21
3．（2023八上·安宁期中）如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．（2023八上·沙坪坝期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是 （ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一 D．DE是BC的垂直平分线
5．（2023八上·庄浪期中） 若等腰三角形一个角等于80°，则它的底角是（ ）
A．80° B．50° C．60° D．80°或50°
6．（2023八上·绍兴期中）一副三角板如图摆放，则的值是（ ）
A．125° B．100° C．115° D．105°
7．（2023八上·谷城期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合
B．全等三角形对应边相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
8．（2022八上·温州期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．：：：： D．，
9．（2023八上·遵义月考）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·萧县期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．，，
二、填空题
11．（2023八上·兴县月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL"添加条件 可得△ABD≌△CDB．
12．如图，已知A，B，D在同一条直线上，∠A=∠CBE=90°，AC=BD，∠1=∠2=35°．则∠D的度数为 .
13．（2023八上·苍溪期中）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为 ．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=14，D为AB的中点，ED⊥AB，垂足为点D，交BC于点E．若△EAC的周长为24，则AC= .
15．（2023七下·巴州期末）如图，是的高，．若，则的度数是 ．
16．（2023八上·肇源月考）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为 .
三、解答题
17．（2022八上·吉林期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
18．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，若AD=BD，AC=DC，求∠DAC的度数．
19．（2023八下·西安月考）已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
20．（2021八上·陆川期中）在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO.要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC.请写出你的选择，并证明.
21．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，点是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
22．（2023七下·礼泉期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD.
（1）若∠A=50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB=7，BC的长为5，求△CBD的周长.
23．（2021·武进模拟）如图， 中， ，点 、 是 边上不重合的两点， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的大小.
24．（2023·鹿城模拟）如图，在中，，D是上一点，延长至点E，使得，延长至点F，使得.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=50°，l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠4=180°-∠A-∠3=70°，
∴∠2=∠4=70°.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=50°，由等边三角形的性质得∠A=60°，再根据三角形的内角和定理算出∠4的度数，最后根据对顶角相等可得答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当三边长分别为8，5，5时，5+5>8，能构成三角形，这个三角形的周长为
当三边长分别为8，8，5时，5+8>8，能构成三角形，这个三角形的周长为，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的定义和三角形三边关系求解。注意分类讨论即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质求解。首先求得，，然后利用三角形外角的性质求解．
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知：AB=AC，BE=CE，
∴AE⊥BC.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可解答.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当80°底角时，那么底角=80°；
当80°为顶角时，那么底角．
故答案为：D．
【分析】分情况讨论，当80°为底角；当80°为顶角．再结合三角形的内角和计算．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图由题意得，，
B为AG中点，，，
，是等边三角形，，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度，利用三角形内角和定理和外角性质求解.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线互相重合 ，A错误；
B：全等三角形对应边相等，B正确；
C：三个角都相等的三角形是等边三角形，C正确；
D：角平分线上的点到角两边的距离相等 ，D正确；
故答案为：A.
【分析】根据的等腰三角形、全等三角形的性质、等边三角形和角平分线的性质判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
则∠1=∠2；
如图②，∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠4，∠3=∠4，
则∠1=∠2；
图③和图④不能判断∠1与∠2一定相等，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的中的两个锐角互余，逐项分析，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，2，
∴，
∴能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能构成三角形，故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
11．【答案】AD＝BC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意得根据“HL"添加条件AD=BC可得△ABD≌△CDB．
故答案为：AD=BC
【分析】根据直角三角形全等的判定结合题意即可求解。
12．【答案】90°
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠CBE=90 ，且 A，B，D在同一条直线上
∴∠1 +∠EBD= 90°
∴∠EBD=90°-35°=65°
∴∠D= 180°-（∠2 +∠EBD）= 180°-（35°+65°）= 90°
故答案为：90°.
【分析】根据平角是180度的定理，可得∠1 +∠EBD= 90°，进而求得∠EBD的值；根据三角形内角和定理，即可求出∠D的值.
13．【答案】70°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
顶角为 70° ，
底为角 70° ，此时顶角为180°-70°-70°=40°。
∴它的顶角为 ： 70°或40° 。
故答案为： 70°或40° 。
【分析】等腰三角形的两个底角相等，如果没有明确顶角和底角时，一般要分两种情况求解。
14．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D为AB的中点，ED⊥AB
∴AE=BE
∴△EAC的周长 =AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=24
∵BC=14
∴AC=24-14=10
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE；根据三角形周长定义和等量代换原则，即可求出AC的值.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
又∵在△ACD中，
∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∠A=35°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=55°
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=35°．
故答案为：35°．
【分析】由题意可得，CD⊥AB，则∠ADC=90°，根据三角形的内角和定理，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，求出∠ACD的角度，再根据∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，即求出∠BCD的度数.
16．【答案】6cm
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm．
【分析】根据OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC，根据CD∥OB，得出∠C=∠AOC，最后根据等角对等边得出CD=OD，即可求出答案．
17．【答案】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用平行，得到 ∠A＝∠CEB＝60° ，在通过已知条件证明△CEB是等腰三角形，在结合∠CEB＝60°，进一步证明△CEB是边三角形。
18．【答案】解：设∠C=x°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°．
∵DB=DA，
∴∠DAB=∠B =x．
∴∠ADC=∠DAB +∠B=2x°．
∵CA=CD，
∴∠CAD =∠ADC =2x°．
∴x+x+2x+x=180．
解得：x=36．
∴∠DAC = 72°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得 ∠B=∠C ∠DAB=∠B ∠CAD =∠ADC 根据三角形内角和定理列方程解方程 ，即可得到答案。
19．【答案】解：∵是中点
∴
在和中
∴
∴
∴，即是等腰三角形.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由线段中点定义可得AD=BD，结合已知用HL定理可证，则∠A=∠B，由等角对等边可得AC=BC，于是根据等腰三角形定义可判断三角形ABC是等腰三角形.
20．【答案】证明：③④作为已知条件
证明如下：
∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB，
∵ ∠DBO＝∠ECO，
∴ ∠DBC＝∠ECB，
∴ AB＝AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】③④作为已知条件；由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由根据 等量加等量和相等可得∠DBC＝∠ECB，再根据等角对等边可求解.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵为的中点，，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠C=∠ABC=38°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可算出∠BAD的度数；
（2）由角平分线定义得∠EBF=∠EBC，由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则∠EBF=∠FEB，最后根据等角对等边可得FB=FE.
22．【答案】（1）解：因为AB=AC，∠A=50°，
所以
又因为DE垂直平分AB，
所以DA=DB，
所以∠ABD=∠A=50°，
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°
（2）解：因为DA=DB，
所以DB+DC=DA+DC=AC
又因为AB=AC=7，BC=5，
所以△CBD周长=DB+DC+BC=AC+BC=12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可知 △ABC 为等腰三角形，则两底角相等，得到∠ABC的度数后，因为DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两边距离相等，可以得到AD=AB，可知 △ABD为等腰三角形，则两底角相等，就可得到∠CBD的度数.
(2)本题将 △CBD的周长 转化为AB+BC，根据垂直平分线的性质，得到DA=DB，即可得到BD+DC=AC.
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在△ABD和△ACE中
，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先根据等边对等角的性质求出∠B=∠C，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，可得AD=AE；
(1)根据三角形内角定理和等腰三角形的性质求出∠ADE的度数，然后根据三角形外角的性质解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵
∴
∵在与
∴
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等式的性质易得∠CAE=∠BAF，从而用SAS判断出△ABF≌△ACE；
（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=BC=8，在Rt△BDF中，利用勾股定理算出BF，进而根据全等三角形的对应边相等得CE=BF，据此可得答案.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第1-2节）基础卷
一、选择题
1．如图，已知等边，直线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=50°，l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠4=180°-∠A-∠3=70°，
∴∠2=∠4=70°.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠3=∠1=50°，由等边三角形的性质得∠A=60°，再根据三角形的内角和定理算出∠4的度数，最后根据对顶角相等可得答案.
2．（2024八上·阿图什期末）在等腰三角形中，若，，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18或21
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当三边长分别为8，5，5时，5+5>8，能构成三角形，这个三角形的周长为
当三边长分别为8，8，5时，5+8>8，能构成三角形，这个三角形的周长为，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的定义和三角形三边关系求解。注意分类讨论即可．
3．（2023八上·安宁期中）如图，等边△ABC的两条高AD和BE相交于点O，则∠DOE度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质求解。首先求得，，然后利用三角形外角的性质求解．
4．（2023八上·沙坪坝期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是 （ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一 D．DE是BC的垂直平分线
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知：AB=AC，BE=CE，
∴AE⊥BC.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可解答.
5．（2023八上·庄浪期中） 若等腰三角形一个角等于80°，则它的底角是（ ）
A．80° B．50° C．60° D．80°或50°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当80°底角时，那么底角=80°；
当80°为顶角时，那么底角．
故答案为：D．
【分析】分情况讨论，当80°为底角；当80°为顶角．再结合三角形的内角和计算．
6．（2023八上·绍兴期中）一副三角板如图摆放，则的值是（ ）
A．125° B．100° C．115° D．105°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图由题意得，，
B为AG中点，，，
，是等边三角形，，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度，利用三角形内角和定理和外角性质求解.
7．（2023八上·谷城期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合
B．全等三角形对应边相等
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A：等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线互相重合 ，A错误；
B：全等三角形对应边相等，B正确；
C：三个角都相等的三角形是等边三角形，C正确；
D：角平分线上的点到角两边的距离相等 ，D正确；
故答案为：A.
【分析】根据的等腰三角形、全等三角形的性质、等边三角形和角平分线的性质判断即可.
8．（2022八上·温州期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C．：：：： D．，
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、 由 无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
B、 ，
，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
C、 ： ： ： ： ， ，
最大角 ，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D、 ， ， ， ，
，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而只要找出三角形最大内角的度数，即可判断该三角形是不是直角三角形，据此判断A、B、C；根据勾股定理的逆定理，只需要判断一个三角形的较小两边的平方和是否等于最大边长的平方即可，据此可判断D.
9．（2023八上·遵义月考）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断与一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图①，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
则∠1=∠2；
如图②，∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠4，∠3=∠4，
则∠1=∠2；
图③和图④不能判断∠1与∠2一定相等，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的中的两个锐角互余，逐项分析，即可求解．
10．（2023八上·萧县期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，2，
∴，
∴能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能构成三角形，故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能构成直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
二、填空题
11．（2023八上·兴县月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠CDB＝90°，根据“HL"添加条件 可得△ABD≌△CDB．
【答案】AD＝BC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意得根据“HL"添加条件AD=BC可得△ABD≌△CDB．
故答案为：AD=BC
【分析】根据直角三角形全等的判定结合题意即可求解。
12．如图，已知A，B，D在同一条直线上，∠A=∠CBE=90°，AC=BD，∠1=∠2=35°．则∠D的度数为 .
【答案】90°
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠CBE=90 ，且 A，B，D在同一条直线上
∴∠1 +∠EBD= 90°
∴∠EBD=90°-35°=65°
∴∠D= 180°-（∠2 +∠EBD）= 180°-（35°+65°）= 90°
故答案为：90°.
【分析】根据平角是180度的定理，可得∠1 +∠EBD= 90°，进而求得∠EBD的值；根据三角形内角和定理，即可求出∠D的值.
13．（2023八上·苍溪期中）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为 ．
【答案】70°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
顶角为 70° ，
底为角 70° ，此时顶角为180°-70°-70°=40°。
∴它的顶角为 ： 70°或40° 。
故答案为： 70°或40° 。
【分析】等腰三角形的两个底角相等，如果没有明确顶角和底角时，一般要分两种情况求解。
14．如图，在△ABC中，AB=BC=14，D为AB的中点，ED⊥AB，垂足为点D，交BC于点E．若△EAC的周长为24，则AC= .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D为AB的中点，ED⊥AB
∴AE=BE
∴△EAC的周长 =AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=24
∵BC=14
∴AC=24-14=10
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE；根据三角形周长定义和等量代换原则，即可求出AC的值.
15．（2023七下·巴州期末）如图，是的高，．若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
又∵在△ACD中，
∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∠A=35°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=55°
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=35°．
故答案为：35°．
【分析】由题意可得，CD⊥AB，则∠ADC=90°，根据三角形的内角和定理，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，求出∠ACD的角度，再根据∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，即求出∠BCD的度数.
16．（2023八上·肇源月考）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝6cm，则CD的长为 .
【答案】6cm
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=6cm.
故答案为：6cm．
【分析】根据OC平分∠AOB，可得∠AOC=∠BOC，根据CD∥OB，得出∠C=∠AOC，最后根据等角对等边得出CD=OD，即可求出答案．
三、解答题
17．（2022八上·吉林期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【答案】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【分析】先利用平行，得到 ∠A＝∠CEB＝60° ，在通过已知条件证明△CEB是等腰三角形，在结合∠CEB＝60°，进一步证明△CEB是边三角形。
18．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，若AD=BD，AC=DC，求∠DAC的度数．
【答案】解：设∠C=x°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°．
∵DB=DA，
∴∠DAB=∠B =x．
∴∠ADC=∠DAB +∠B=2x°．
∵CA=CD，
∴∠CAD =∠ADC =2x°．
∴x+x+2x+x=180．
解得：x=36．
∴∠DAC = 72°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得 ∠B=∠C ∠DAB=∠B ∠CAD =∠ADC 根据三角形内角和定理列方程解方程 ，即可得到答案。
19．（2023八下·西安月考）已知：如图，中，是中点，垂足为，垂足为，且，求证：是等腰三角形
【答案】解：∵是中点
∴
在和中
∴
∴
∴，即是等腰三角形.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由线段中点定义可得AD=BD，结合已知用HL定理可证，则∠A=∠B，由等角对等边可得AC=BC，于是根据等腰三角形定义可判断三角形ABC是等腰三角形.
20．（2021八上·陆川期中）在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO.要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC.请写出你的选择，并证明.
【答案】证明：③④作为已知条件
证明如下：
∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB，
∵ ∠DBO＝∠ECO，
∴ ∠DBC＝∠ECB，
∴ AB＝AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】③④作为已知条件；由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由根据 等量加等量和相等可得∠DBC＝∠ECB，再根据等角对等边可求解.
21．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，点是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵为的中点，，
∴，即，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠C=∠ABC=38°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据直角三角形的量锐角互余可算出∠BAD的度数；
（2）由角平分线定义得∠EBF=∠EBC，由平行线的性质得∠EBC=∠BEF，则∠EBF=∠FEB，最后根据等角对等边可得FB=FE.
22．（2023七下·礼泉期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，连接BD.
（1）若∠A=50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB=7，BC的长为5，求△CBD的周长.
【答案】（1）解：因为AB=AC，∠A=50°，
所以
又因为DE垂直平分AB，
所以DA=DB，
所以∠ABD=∠A=50°，
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°
（2）解：因为DA=DB，
所以DB+DC=DA+DC=AC
又因为AB=AC=7，BC=5，
所以△CBD周长=DB+DC+BC=AC+BC=12
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据AB=AC，可知 △ABC 为等腰三角形，则两底角相等，得到∠ABC的度数后，因为DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两边距离相等，可以得到AD=AB，可知 △ABD为等腰三角形，则两底角相等，就可得到∠CBD的度数.
(2)本题将 △CBD的周长 转化为AB+BC，根据垂直平分线的性质，得到DA=DB，即可得到BD+DC=AC.
23．（2021·武进模拟）如图， 中， ，点 、 是 边上不重合的两点， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的大小.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在△ABD和△ACE中
，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先根据等边对等角的性质求出∠B=∠C，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE，可得AD=AE；
(1)根据三角形内角定理和等腰三角形的性质求出∠ADE的度数，然后根据三角形外角的性质解答即可.
24．（2023·鹿城模拟）如图，在中，，D是上一点，延长至点E，使得，延长至点F，使得.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵
∴
∵在与
∴
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等式的性质易得∠CAE=∠BAF，从而用SAS判断出△ABF≌△ACE；
（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=BC=8，在Rt△BDF中，利用勾股定理算出BF，进而根据全等三角形的对应边相等得CE=BF，据此可得答案.
1 / 1
