2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章 第1-2节）培优卷
一、选择题
1．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
2．（2023·海南）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC=40°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=40°+40°=80°.
故答案为：C.
【分析】由作图可知MN垂直平分BC，利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，利用等边对等角可求出∠DBC的度数，然后利用三角形的外角的性质可求出∠ADB的度数.
3．（2023·衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．可知：以上步骤符合反证法的步骤，
∴推理使用的证明方法是反证法，
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用反证法的意义及步骤判断求解即可。
4．（2023·武威）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边的高，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
由作图知DB=DE，
∴∠DEC=∠DBC=30°；
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，由作图知DB=DE，利用等边对等角即可求解.
5．（2023·台州）如图，锐角三角形ABC中，，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=CB，当CD=BE时，SSA不能判断△DCB与EBC全等，
∴ 得不出∠DCB=∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=CB，∠DCB=∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD=BE，BD=CE，故选项B、D都是真命题，不符合题意；
∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB=∠EBC，故选项C正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由等边对等角得∠ABC=∠ACB，而BC=CB，如果添加CD=BE，SSA不能判断△DCB与EBC全等，从而得不出∠DCB=∠EBC，据此判断A选项；添加∠DCB=∠EBC，用ASA判断△DCB≌△EBC，得CD=BE，BD=CE，据此可判断B、D选项；当添加BD=CE时，利用SAS可判断△DCB≌△EBC，得∠DCB=∠EBC，据此可判断C选项.
6．（2022·南充）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠C=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF=3，
∴CE==4，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9，
∵∠C=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴AF=AC=9，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴AB=，
∴BF=-9=，
∴BCD正确，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DF=3，根据勾股定理得出CE=4，根据等角对等边的性质得出AE=DE=5，从而得出AC=9，再根据平行线分线段成比例定理得出，得出AB=，从而得出BF=，即可得出答案.
7．（2021·永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°.
故答案为：A.
【分析】由作法得MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠B＝50°，∠C＝∠B＝50°，然后由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据∠CAD＝∠BAC-∠DAB计算即可.
8．（2023·永州）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．一定经过的内心
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：BD是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，故B正确；
∴BD一定经过△ABC的内心，故D正确；
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE，故A正确；
根据题中的信息无法正确BD=AD，故C不正确；
故答案为C.
【分析】利用角平分线的性质及全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．（2021·毕节）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，M是BC上的点，且 .将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接PM
∵矩形纸片ABCD中， ， ，
∴
∵
∴
∵折叠
∴ ，
∴
∵PM=PM
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接PM，由矩形的性质可得CD=AB=7，BM=7，由折叠可得 ，， 即得，证明 ，可得
，利用PA=AB-PB即可求出结论.
10．（2020·吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故答案为：B．
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
二、填空题
11．（2023·随州）如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵CD=DE，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6.
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4.
设CD=DE=x，则AD=8-x，
∵AD2=DE2+AE2，
∴(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴AD=AC-CD=8-3=5.
故答案为：5.
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC=BE=6，由勾股定理可得AB=10，则AE=AB-BE=4，设CD=DE=x，则AD=8-x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得x的值，进而可得AD的值.
12．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
13．（2022·兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 沿DE翻折得到 ，点F落在AE上．若 ， ，则 cm．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， ，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF， ，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm).
故答案为∶ ．
【分析】由折叠及矩形的性质得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，易得AF=2EF=6cm，则AE=AF+EF=9cm，根据矩形的性质可得AB=CD=DF，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC=∠DEF，则AD=AE=9cm，然后在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的值，据此解答.
14．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
15．（2021·贺州）如图，一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，点 ， 分别是线段 ， 上的点，且 ， ，则点 的标为 .
【答案】
【知识点】一次函数的图象；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数 与坐标轴分别交于A， 两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷ ＝2 ，
∴OD＝OB BD＝4 2 ，
∴P（-2 ，4 2 ）.
故答案是：P（-2 ，4 2 ）.
【分析】过P作PD⊥OC于D，由可求出A(-4，0)，B(0，4)，即OA=OB，从而可得△BDP是等腰直角三角形，证明△PCB≌△OPA（AAS），可得AO＝BP＝4，从而求出BD=PD=BP=2 ，继而求出OD＝OB BD＝4 2 ，即得点P坐标.
16．（2021·南京）如图，在四边形 中， .设 ，则 （用含 的代数式表示）.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为： .
【分析】在△ABD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠ADB，在△BCD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠BDC；再根据∠ADC=∠ADB+∠CBD，将其代入可表示出∠ADC.
三、解答题
17．（2023·武汉）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，直接写出的形状．
【答案】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠EAD=∠B，由此可推出∠EAD=∠D，利用内错角相等，两直线平行，可证得BE∥CD；然后利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠ECD=∠E=60°，利用角平分线的定义和平行线的性质可得到∠BCE=∠E=60°，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数，然后利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可证得结论.
18．（2017·苏州）如图， ， ，点 在 边上， ， 和 相交于点 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：因为∠ADE=∠1+∠C=∠2+∠BDE，∠1=∠2，
所以∠C=∠BDE.
在△AEC和△BED 中，
所以ΔΑEC≌ ΔΒΕD
（2）解：因为ΔΑEC≌ ΔΒΕD，
所以CE=DE，
∠BDE=∠C=
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠ADE的两种表示方法：∠1+∠C=∠2+∠BDE，又∠1=∠2，所以∠C=∠BDE.根据已知的条件，即可由“AAS”判定全等三角形；
（2）由ΔΑEC≌ ΔΒΕD，可得边相等，则由等腰三角形的底角相等可得∠BDE=∠C=.
19．（2020·绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。
答案：∠DAC=45°。
思考：
（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。
【答案】（1）解： 的度数不会改变；
，
，①
，
，
，②
由①，②得， ；
（2）解：设 ，
则 ， ，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得∠AED=2∠C，由∠BAE=90°，可以推出∠BAD=45°+∠C，由此可得到∠DAE=45°-∠C，然后可求出∠DAC的度数。
（2）设∠ABC=m，用含m的代数式表示出∠BAD，∠AEB，由此可得∠DAE，利用等腰三角形的性质，可得到∠CAE，然后根据∠DAC=∠DAE+∠CAE可求出∠DAC的值。
20．（2022·怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）.
【答案】（1）证明：如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，
则MP=NP；
（2）解：∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点M作MQ∥CN，交AC于点H，则，AM=AQ，且∠A=60°，推出△AMQ为等边三角形，得到MQ=AM=CN，根据平行线的性质可得∠QMP=∠CNP，证明△MQP≌△NCP，据此可得结论；
（2）由等边三角形性质得AH=HQ，由全等三角形性质得PQ=PC，由PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)进行计算.
21．（2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于 ，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
22．（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】解：①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在△AEC与△BCD中，
∴ ．
∴ ；
②解：由①知：
∴
．
又∵
．
∴ ．
整理，得 ．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）、根据题意结合三角形全等的判定定理易证 ，根据全等三角形的性质：对应边相等，即可。
（2）、直接根据直角梯形的面积公式表示出
由因为 ，从而得到
，整理可得出结论。
23．（2017·浙江模拟）如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t= s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）如图1，
过P作PM∥AD，∴ ，∴ ，∴PM=90﹣ t，
∵PN=NQ，PM=BQ，∴90﹣ t=20t，∴t= ，
（3）解：如图2，
作GH⊥BQ，∴PB=PF=60﹣3t，
∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，∴△AEP≌△FEG，
∴PE=EG，FG=AP，∴AG=PF=60﹣3t=BH，
∴HQ=BQ﹣BH=20t﹣（60﹣3t）=23t﹣60，
GQ=FQ﹣FG=BQ﹣AP=17t，
根据勾股定理得，602=（17t）2﹣（23t﹣60）2
∴t1=4，t2=7.5（舍），∴t=4
∴存在t=4，使AE=EF．
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）当BP=BQ时，60﹣3t=20t，∴ ，
24．（2016·龙岩）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
【答案】（1）=
（2）解：成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
得
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）解：如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 ，
在△PEA中，PE2=（2 ）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴ ，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：DB=EC
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．（1）由DE∥BC，得到 ，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章 第1-2节）培优卷
一、选择题
1．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
4．（2023·武威）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·台州）如图，锐角三角形ABC中，，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2022·南充）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
7．（2021·永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2023·永州）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．一定经过的内心
9．（2021·毕节）如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，M是BC上的点，且 .将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
10．（2020·吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·随州）如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则 ．
12．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
13．（2022·兰州）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将 沿DE翻折得到 ，点F落在AE上．若 ， ，则 cm．
14．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
15．（2021·贺州）如图，一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，点 ， 分别是线段 ， 上的点，且 ， ，则点 的标为 .
16．（2021·南京）如图，在四边形 中， .设 ，则 （用含 的代数式表示）.
三、解答题
17．（2023·武汉）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，直接写出的形状．
18．（2017·苏州）如图， ， ，点 在 边上， ， 和 相交于点 ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ，求 的度数．
19．（2020·绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。
答案：∠DAC=45°。
思考：
（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。
20．（2022·怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
（1）求证：MP=NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）.
21．（2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
22．（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
23．（2017·浙江模拟）如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t= s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．
24．（2016·龙岩）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC=40°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=40°+40°=80°.
故答案为：C.
【分析】由作图可知MN垂直平分BC，利用垂直平分线的性质可证得BD=CD，利用等边对等角可求出∠DBC的度数，然后利用三角形的外角的性质可求出∠ADB的度数.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．可知：以上步骤符合反证法的步骤，
∴推理使用的证明方法是反证法，
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用反证法的意义及步骤判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵是等边的高，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
由作图知DB=DE，
∴∠DEC=∠DBC=30°；
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得∠DBC=∠ABC=30°，由作图知DB=DE，利用等边对等角即可求解.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=CB，当CD=BE时，SSA不能判断△DCB与EBC全等，
∴ 得不出∠DCB=∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=CB，∠DCB=∠EBC，
∴△DCB≌△EBC（ASA），
∴CD=BE，BD=CE，故选项B、D都是真命题，不符合题意；
∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△DCB≌△EBC（SAS），
∴∠DCB=∠EBC，故选项C正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由等边对等角得∠ABC=∠ACB，而BC=CB，如果添加CD=BE，SSA不能判断△DCB与EBC全等，从而得不出∠DCB=∠EBC，据此判断A选项；添加∠DCB=∠EBC，用ASA判断△DCB≌△EBC，得CD=BE，BD=CE，据此可判断B、D选项；当添加BD=CE时，利用SAS可判断△DCB≌△EBC，得∠DCB=∠EBC，据此可判断C选项.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠C=90°，DF⊥AB，
∴CD=DF=3，
∴CE==4，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9，
∵∠C=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴AF=AC=9，
∵DE∥AB，
∴，
∴，
∴AB=，
∴BF=-9=，
∴BCD正确，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得出CD=DF=3，根据勾股定理得出CE=4，根据等角对等边的性质得出AE=DE=5，从而得出AC=9，再根据平行线分线段成比例定理得出，得出AB=，从而得出BF=，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°.
故答案为：A.
【分析】由作法得MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠B＝50°，∠C＝∠B＝50°，然后由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据∠CAD＝∠BAC-∠DAB计算即可.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题意可得：BD是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，故B正确；
∴BD一定经过△ABC的内心，故D正确；
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE，故A正确；
根据题中的信息无法正确BD=AD，故C不正确；
故答案为C.
【分析】利用角平分线的性质及全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接PM
∵矩形纸片ABCD中， ， ，
∴
∵
∴
∵折叠
∴ ，
∴
∵PM=PM
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接PM，由矩形的性质可得CD=AB=7，BM=7，由折叠可得 ，， 即得，证明 ，可得
，利用PA=AB-PB即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故答案为：B．
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
11．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵CD=DE，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6.
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4.
设CD=DE=x，则AD=8-x，
∵AD2=DE2+AE2，
∴(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴AD=AC-CD=8-3=5.
故答案为：5.
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC=BE=6，由勾股定理可得AB=10，则AE=AB-BE=4，设CD=DE=x，则AD=8-x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得x的值，进而可得AD的值.
12．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上， ，四边形ABCD是矩形，
∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，
∵AF=2EF，
∴AF=6cm，
∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=DF， ，
∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，
∴AD=AE=9cm，
∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2
∴62+DF2=92，
∴DF= (cm)，
AB=DF= (cm).
故答案为∶ ．
【分析】由折叠及矩形的性质得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，易得AF=2EF=6cm，则AE=AF+EF=9cm，根据矩形的性质可得AB=CD=DF，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADE=∠DEC=∠DEF，则AD=AE=9cm，然后在Rt△ADF中，根据勾股定理可得DF的值，据此解答.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数的图象；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】如图所示，过P作PD⊥OC于D，
∵一次函数 与坐标轴分别交于A， 两点，
∴A(-4，0)，B(0，4)，即：OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°，
∴∠PCB＋∠BPC＝135°＝∠OPA＋∠BPC，
∴∠PCB＝∠OPA，
又∵PC＝OP，
∴△PCB≌△OPA（AAS），
∴AO＝BP＝4，
∴Rt△BDP中，BD＝PD＝BP÷ ＝2 ，
∴OD＝OB BD＝4 2 ，
∴P（-2 ，4 2 ）.
故答案是：P（-2 ，4 2 ）.
【分析】过P作PD⊥OC于D，由可求出A(-4，0)，B(0，4)，即OA=OB，从而可得△BDP是等腰直角三角形，证明△PCB≌△OPA（AAS），可得AO＝BP＝4，从而求出BD=PD=BP=2 ，继而求出OD＝OB BD＝4 2 ，即得点P坐标.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为： .
【分析】在△ABD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠ADB，在△BCD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠BDC；再根据∠ADC=∠ADB+∠CBD，将其代入可表示出∠ADC.
17．【答案】（1）证明：，
∴，
，
．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠EAD=∠B，由此可推出∠EAD=∠D，利用内错角相等，两直线平行，可证得BE∥CD；然后利用两直线平行，内错角相等，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠ECD=∠E=60°，利用角平分线的定义和平行线的性质可得到∠BCE=∠E=60°，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数，然后利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可证得结论.
18．【答案】（1）证明：因为∠ADE=∠1+∠C=∠2+∠BDE，∠1=∠2，
所以∠C=∠BDE.
在△AEC和△BED 中，
所以ΔΑEC≌ ΔΒΕD
（2）解：因为ΔΑEC≌ ΔΒΕD，
所以CE=DE，
∠BDE=∠C=
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠ADE的两种表示方法：∠1+∠C=∠2+∠BDE，又∠1=∠2，所以∠C=∠BDE.根据已知的条件，即可由“AAS”判定全等三角形；
（2）由ΔΑEC≌ ΔΒΕD，可得边相等，则由等腰三角形的底角相等可得∠BDE=∠C=.
19．【答案】（1）解： 的度数不会改变；
，
，①
，
，
，②
由①，②得， ；
（2）解：设 ，
则 ， ，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，可证得∠AED=2∠C，由∠BAE=90°，可以推出∠BAD=45°+∠C，由此可得到∠DAE=45°-∠C，然后可求出∠DAC的度数。
（2）设∠ABC=m，用含m的代数式表示出∠BAD，∠AEB，由此可得∠DAE，利用等腰三角形的性质，可得到∠CAE，然后根据∠DAC=∠DAE+∠CAE可求出∠DAC的值。
20．【答案】（1）证明：如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，
则MP=NP；
（2）解：∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点M作MQ∥CN，交AC于点H，则，AM=AQ，且∠A=60°，推出△AMQ为等边三角形，得到MQ=AM=CN，根据平行线的性质可得∠QMP=∠CNP，证明△MQP≌△NCP，据此可得结论；
（2）由等边三角形性质得AH=HQ，由全等三角形性质得PQ=PC，由PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)进行计算.
21．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△BDE≌△CDF.
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由于 ，D为BC的中点，平行得角相等，中点得线段相等，很容易证三角形全等。（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，根据中垂线性质知，AB=AC，又根据三角形全等的性质定理知，BE=FC，则AB的长可求，AC的长即求。
22．【答案】解：①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在△AEC与△BCD中，
∴ ．
∴ ；
②解：由①知：
∴
．
又∵
．
∴ ．
整理，得 ．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）、根据题意结合三角形全等的判定定理易证 ，根据全等三角形的性质：对应边相等，即可。
（2）、直接根据直角梯形的面积公式表示出
由因为 ，从而得到
，整理可得出结论。
23．【答案】（1）
（2）如图1，
过P作PM∥AD，∴ ，∴ ，∴PM=90﹣ t，
∵PN=NQ，PM=BQ，∴90﹣ t=20t，∴t= ，
（3）解：如图2，
作GH⊥BQ，∴PB=PF=60﹣3t，
∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，∴△AEP≌△FEG，
∴PE=EG，FG=AP，∴AG=PF=60﹣3t=BH，
∴HQ=BQ﹣BH=20t﹣（60﹣3t）=23t﹣60，
GQ=FQ﹣FG=BQ﹣AP=17t，
根据勾股定理得，602=（17t）2﹣（23t﹣60）2
∴t1=4，t2=7.5（舍），∴t=4
∴存在t=4，使AE=EF．
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）当BP=BQ时，60﹣3t=20t，∴ ，
24．【答案】（1）=
（2）解：成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
得
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）解：如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 ，
在△PEA中，PE2=（2 ）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴ ，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：DB=EC
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．（1）由DE∥BC，得到 ，结合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．
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