2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第3-4节）基础卷
一、选择题
1．（2023八上·东安期中）如图，在中，，点E是斜边的中点，，且，则 （ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
2．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，为直线CD上的一点，已知线段，则线段PB的长度为（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
3．（2023·耿马模拟） 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·梅州期末）如图，在中，结合尺规作图的痕迹，已知，的周长为14cm，则的周长是（ ）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
5．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2023八上·合肥月考）如图，在中，，分别是，的平分线.若，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，，垂足分别为点C，D，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处
10．（2023七下·防城期中）如图，，，平分，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
12．（2023九上·南宁期中） 如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 m．
13．（2023八上·乾安期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长，若，则的度数为 ．
14．（2023八下·通道期中）如图，在中，，平分交于点，，，则 ．
15．（2023八上·禹城月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 ．
16．（2023八上·淮南期中）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 cm．
三、解答题
17．（2023八上·苍溪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）
求证：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
18．（2023七下·和平期末）如图，在中，
（1）作的角平分线交于，作线段的垂直平分线分别交于，交于，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，则与边的位置关系是 。
19．（2023八上·江城期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．
（1）求证：AF=DE；
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
20．（2023八下·成都期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．（2023七下·长沙期末）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法；
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ．（填序号）
① ② ③ ④
（2）请你证明为的平分线．
22．（2023八下·伊川期中）如图，交延长线于，于，，．
（1）求证：平分；
（2）直接写出与之间的数量关系．
23．（2023七下·渝中期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余．
24．（2023七下·仙桃期末）在数学活动课上，老师组织七（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接AB，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）【小试牛刀】
当时，求的度数；
（2）【变式探索】
当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）【能力提升】
当点P运动到使时， （直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意得，ED所在直线为线段AB的垂直平分线，则DA=DB，∠DAB=∠B，∵，∴∠CAD：∠B=5：2，∴∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，在中，∠C=90°，则∠CAB+∠B=90°，∴∠CAB=90°x=70°，B正确。
故答案为：B.
【分析】根据条件，判断出线段AB的中垂线，利用中垂线性质，找到等角∠DAB=∠B，通过等角代换，计算出角度比，即∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，最终求出答案。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线 ，点P在直线CD上，
∴垂直平分线上的点P到线段AB的两个端点的距离相等，即PB=PA=8.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质即可求得.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程可知，在D图中，D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，根据垂直平分线的性质可知AD=BD，其他作图都不能推导出AD=BD。
故答案为：D.
【分析】AD=BD，则D点一定在线段AB的垂直平分线上，根据作图可知D图是垂直平分线的作图。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，DE垂直平分AC；
∴AE=EC，AC=2AD=4，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BE+AE+AC=14+4=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AC=2AD，再根据三角形的周长等于三边之和即可算出答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，∠ABP=∠PBC=22°，∠ACP=∠PCM=62°，则∠ABC=44°，∠ACM=124°，由外角性质可知：∠A=∠ACM-∠ABC=80°，∠P=∠PCM-∠PBC=40°，则∠A-∠P=80°-40°=40°，D正确。
故答案为：D。
【分析】根据角平分线得到∠ABC=44°，∠ACM=124°，然后利用外角性质求出∠A、∠P的度数，即可求解。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OP是∠AOB的角平分线
∴PC=PD，B正确；
∵∠DPO=180°-∠2-90°=∠CPO，C正确；
∵∠1=∠2，OP=OP，∠DPO=∠CPO；
∴△CPO≌△DPO
∴OD=OC，D正确；
不能推出PD=OD，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的判定和性质，可得PC=PD；根据三角形的内角和定理，可得∠DPO=∠CPO；根据三角形全等的判定和性质，可得OD=OC.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等
∴度假村的位置是三角形ABC的角平分线的交点
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
平分 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据 ，，以及平行线的性质，得到，又由 平分 得到 ，即可求出答.
11．【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
12．【答案】200
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D向AB作垂线段，垂足为E，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵BC=1000m，BD=800m，
∴DE=CD=200m.
∴此时这个人到AB 的最短距离为200m.
故答案为：200.
【分析】根据角平线上的点到角两边的距离相等来进行计算.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E
∵两把直尺为完全相同的长方形
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB
∴∠AOP=∠BOP=28°
∴∠AOB=56°
故答案为：56°
【分析】过点P作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E，由题意可得：PD=PE，根据角平分线的判定定理可得OP平分∠AOB，即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE垂直BC于点E
， 平分
即AD=3
故答案为3
【分析】作三角形BDC以BC为底的高，利用面积求高DE，利用角平分线可证明AD=DE即可求出答案。
15．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE为AB的垂直平分线，∴DA=DB，
=AC+CD+DC=AC+CD+DB=AC+CB=8+12=20。
故答案为：20。
【分析】由垂直平分线的性质，得到对应边相等，即DA=DB，再根据三边的和，通过线段间的等量代换，最终求出周长。
16．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴MA=MB，
同理可得：NA=NC，
则的周长=MA+NA+MN=BM+MN+NC=BC=10cm，
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，NA=NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
17．【答案】（1） 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°-∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2） 解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13-5＝8，
∴AC＝AB＝8，
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=72°，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DC，根据等边对等角及三角形的外角性质可得∠CDB=∠B=72°，再根据等角对等边即可得出CD=CB，据此可得结论；
（2）根据三角形周长的计算方法及等量代换可得BC+AB＝13 ，结合已知可得AB的长，最后根据AC=AB即可得出答案.
18．【答案】（1）解：BD为所求，EF为所求，如下图，
（2）DF与边AB的位置关系是DFAB
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：(2)是线段的垂直平分线 ，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)角平分线的作法：分别以点B为圆心，任意长度为半径画弧与AB、BC相交，分别以这两个交点为圆心，相同长度为半径交于一点，连接这个交点与点B的射线交AC于点D，故BD为的角平分线；
垂直平分线的作法：分别以点B、D为圆心，大于BD的长度为半径画弧，连接两条弧交点的直线 分别交AB于E，交BC于F，故EF为BD的垂直平分线.
(2)利用角平分线的定义和平行线的性质证得，进而证明DF与AB互相平行.
19．【答案】（1）证明： ∵BE= CF，
∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE．
∵∠A=∠D=90° ，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
∴AF=DE．
（2）由(1)知Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB=∠DEC
∵OP⊥EF，
∴∠OPE=∠OPF=90°．
在△OPE和△OPF中，
∴△OPE≌△OPF(AAS)．
∴∠EOP=∠FOP．
∴OP平分∠EOF．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，等式两边同时加上一个相同的数，等式不变，可得BF=CE；根据直角三角形全等的判定，可得Rt△ABF≌Rt△DCE；根据全等三角形的性质，可得AF=DE；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠AFB=∠DEC；根据全等三角形的判定（AAS），可以得出△OPE≌△OPF；根据全等三角形的性质，可得∠EOP=∠FOP，进而可得OP平分∠EOF.
20．【答案】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再根据平行线的性质求出 ， 最后证明即可；
（2）利用三角形的内角和先求出 ，再根据角平分线求出 ， 最后根据平行线的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）①
（2）解：∵
∴，
∴为的平分线．
【知识点】角平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】
（1）解：在和中，
∴
则这种作已知角的平分线的方法的依据是①
【分析】本题考查角平分线的证明过程：通过三角形全等来判定。（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，可知OM=ON，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧线，则MC=NC，结合公共边OC，通过边边边，可证 ；（2）由得∠AOC=∠NOC，则可知OC为∠AOB的角平分线.
22．【答案】（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）解：．理由如下：
由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠E=∠DFC=90°，利用HL证明△BED≌△CFD，得到DE=DF，据此证明；
（2）根据（1）可得DE=DF，利用HL证明△ADE≌△ADF，得到AE=AF，然后根据AB+AC=AE-BE+AF+CF进行解答.
23．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
即：与互余．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题考查三角形内角计算和平行线的判定应用。结合角平分线，计算角度时，要注意三角形内角和180°这个隐含条件。
24．【答案】（1）解：时，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=，
故答案为：60°.
（2）∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠ABD=∠CBN，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，
∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠A+∠ABN=90°，
即：2∠DBN+∠A=90°.
【分析】（1）根据平行线的性质得：∠A+∠ABN=180°；再根据角平分线的性质得：，，进而求出∠CBD.
（2）根据角平分线的性质得：；再根据平行线的性质得：，，进而可以得到 与之间的数量关系 .
（3）根据平行线的性质得：；再根据角平分线的性质得：，，∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN；最后根据平行线的性质得：，∠A+∠ABN=90°，即可解出答案.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第3-4节）基础卷
一、选择题
1．（2023八上·东安期中）如图，在中，，点E是斜边的中点，，且，则 （ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意得，ED所在直线为线段AB的垂直平分线，则DA=DB，∠DAB=∠B，∵，∴∠CAD：∠B=5：2，∴∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，在中，∠C=90°，则∠CAB+∠B=90°，∴∠CAB=90°x=70°，B正确。
故答案为：B.
【分析】根据条件，判断出线段AB的中垂线，利用中垂线性质，找到等角∠DAB=∠B，通过等角代换，计算出角度比，即∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，最终求出答案。
2．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，为直线CD上的一点，已知线段，则线段PB的长度为（ ）
A．16 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线 ，点P在直线CD上，
∴垂直平分线上的点P到线段AB的两个端点的距离相等，即PB=PA=8.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质即可求得.
3．（2023·耿马模拟） 下列选项的尺规作图，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】由作图过程可知，在D图中，D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，根据垂直平分线的性质可知AD=BD，其他作图都不能推导出AD=BD。
故答案为：D.
【分析】AD=BD，则D点一定在线段AB的垂直平分线上，根据作图可知D图是垂直平分线的作图。
4．（2023七下·梅州期末）如图，在中，结合尺规作图的痕迹，已知，的周长为14cm，则的周长是（ ）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，DE垂直平分AC；
∴AE=EC，AC=2AD=4，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BE+AE+AC=14+4=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AC=2AD，再根据三角形的周长等于三边之和即可算出答案.
5．（2024八上·石碣期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意OD平分，于点E，，
∴D到OB的距离等于5，
∴
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可知点D到OB和OA的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，逐项判断即可．
6．（2023八上·合肥月考）如图，在中，，分别是，的平分线.若，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，∠ABP=∠PBC=22°，∠ACP=∠PCM=62°，则∠ABC=44°，∠ACM=124°，由外角性质可知：∠A=∠ACM-∠ABC=80°，∠P=∠PCM-∠PBC=40°，则∠A-∠P=80°-40°=40°，D正确。
故答案为：D。
【分析】根据角平分线得到∠ABC=44°，∠ACM=124°，然后利用外角性质求出∠A、∠P的度数，即可求解。
7．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
8．如图，，垂足分别为点C，D，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OP是∠AOB的角平分线
∴PC=PD，B正确；
∵∠DPO=180°-∠2-90°=∠CPO，C正确；
∵∠1=∠2，OP=OP，∠DPO=∠CPO；
∴△CPO≌△DPO
∴OD=OC，D正确；
不能推出PD=OD，A错误.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的判定和性质，可得PC=PD；根据三角形的内角和定理，可得∠DPO=∠CPO；根据三角形全等的判定和性质，可得OD=OC.
9．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等
∴度假村的位置是三角形ABC的角平分线的交点
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等.
10．（2023七下·防城期中）如图，，，平分，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
，
平分 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据 ，，以及平行线的性质，得到，又由 平分 得到 ，即可求出答.
二、填空题
11．（2019·梅列模拟）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2＝ ．
【答案】100
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝ ∠ACB，∠ACF＝ ∠ACD，即∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）＝90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2＝EF2．
12．（2023九上·南宁期中） 如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 m．
【答案】200
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D向AB作垂线段，垂足为E，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵BC=1000m，BD=800m，
∴DE=CD=200m.
∴此时这个人到AB 的最短距离为200m.
故答案为：200.
【分析】根据角平线上的点到角两边的距离相等来进行计算.
13．（2023八上·乾安期中）两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连接并延长，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E
∵两把直尺为完全相同的长方形
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB
∴∠AOP=∠BOP=28°
∴∠AOB=56°
故答案为：56°
【分析】过点P作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E，由题意可得：PD=PE，根据角平分线的判定定理可得OP平分∠AOB，即可求出答案.
14．（2023八下·通道期中）如图，在中，，平分交于点，，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE垂直BC于点E
， 平分
即AD=3
故答案为3
【分析】作三角形BDC以BC为底的高，利用面积求高DE，利用角平分线可证明AD=DE即可求出答案。
15．（2023八上·禹城月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是 ．
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE为AB的垂直平分线，∴DA=DB，
=AC+CD+DC=AC+CD+DB=AC+CB=8+12=20。
故答案为：20。
【分析】由垂直平分线的性质，得到对应边相等，即DA=DB，再根据三边的和，通过线段间的等量代换，最终求出周长。
16．（2023八上·淮南期中）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 cm．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴MA=MB，
同理可得：NA=NC，
则的周长=MA+NA+MN=BM+MN+NC=BC=10cm，
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，NA=NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
三、解答题
17．（2023八上·苍溪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E.
（1）
求证：△BCD是等腰三角形；
（2）
若△BCD的周长是13，BC＝5，求AC的长.
【答案】（1） 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝ （180°-∠A）＝72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∴∠CDB＝∠B＝72°，
∴CD＝CB，
∴△BCD是等腰三角形；
（2） 解：∵△BCD的周长是13，
∴BC+BD+CD＝13，
∵AD＝CD，
∴BC+BD+AD＝13，
∴BC+AB＝13，
∵BC＝5，
∴AB＝13-5＝8，
∴AC＝AB＝8，
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠B=72°，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DC，根据等边对等角及三角形的外角性质可得∠CDB=∠B=72°，再根据等角对等边即可得出CD=CB，据此可得结论；
（2）根据三角形周长的计算方法及等量代换可得BC+AB＝13 ，结合已知可得AB的长，最后根据AC=AB即可得出答案.
18．（2023七下·和平期末）如图，在中，
（1）作的角平分线交于，作线段的垂直平分线分别交于，交于，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，则与边的位置关系是 。
【答案】（1）解：BD为所求，EF为所求，如下图，
（2）DF与边AB的位置关系是DFAB
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：(2)是线段的垂直平分线 ，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)角平分线的作法：分别以点B为圆心，任意长度为半径画弧与AB、BC相交，分别以这两个交点为圆心，相同长度为半径交于一点，连接这个交点与点B的射线交AC于点D，故BD为的角平分线；
垂直平分线的作法：分别以点B、D为圆心，大于BD的长度为半径画弧，连接两条弧交点的直线 分别交AB于E，交BC于F，故EF为BD的垂直平分线.
(2)利用角平分线的定义和平行线的性质证得，进而证明DF与AB互相平行.
19．（2023八上·江城期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．
（1）求证：AF=DE；
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【答案】（1）证明： ∵BE= CF，
∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE．
∵∠A=∠D=90° ，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
∴AF=DE．
（2）由(1)知Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB=∠DEC
∵OP⊥EF，
∴∠OPE=∠OPF=90°．
在△OPE和△OPF中，
∴△OPE≌△OPF(AAS)．
∴∠EOP=∠FOP．
∴OP平分∠EOF．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，等式两边同时加上一个相同的数，等式不变，可得BF=CE；根据直角三角形全等的判定，可得Rt△ABF≌Rt△DCE；根据全等三角形的性质，可得AF=DE；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠AFB=∠DEC；根据全等三角形的判定（AAS），可以得出△OPE≌△OPF；根据全等三角形的性质，可得∠EOP=∠FOP，进而可得OP平分∠EOF.
20．（2023八下·成都期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线求出 ， 再根据平行线的性质求出 ， 最后证明即可；
（2）利用三角形的内角和先求出 ，再根据角平分线求出 ， 最后根据平行线的性质计算求解即可。
21．（2023七下·长沙期末）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法；
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ．（填序号）
① ② ③ ④
（2）请你证明为的平分线．
【答案】（1）①
（2）解：∵
∴，
∴为的平分线．
【知识点】角平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】
（1）解：在和中，
∴
则这种作已知角的平分线的方法的依据是①
【分析】本题考查角平分线的证明过程：通过三角形全等来判定。（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，可知OM=ON，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧线，则MC=NC，结合公共边OC，通过边边边，可证 ；（2）由得∠AOC=∠NOC，则可知OC为∠AOB的角平分线.
22．（2023八下·伊川期中）如图，交延长线于，于，，．
（1）求证：平分；
（2）直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）解：．理由如下：
由（1）知平分，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠E=∠DFC=90°，利用HL证明△BED≌△CFD，得到DE=DF，据此证明；
（2）根据（1）可得DE=DF，利用HL证明△ADE≌△ADF，得到AE=AF，然后根据AB+AC=AE-BE+AF+CF进行解答.
23．（2023七下·渝中期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
即：与互余．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】本题考查三角形内角计算和平行线的判定应用。结合角平分线，计算角度时，要注意三角形内角和180°这个隐含条件。
24．（2023七下·仙桃期末）在数学活动课上，老师组织七（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接AB，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C，D．
（1）【小试牛刀】
当时，求的度数；
（2）【变式探索】
当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）【能力提升】
当点P运动到使时， （直接写出结果）．
【答案】（1）解：时，，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴，
（2）解：，理由如下：
∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-60°=120°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=，
故答案为：60°.
（2）∵BD分别平分∠PBN，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，则有∠ABD=∠CBN，
∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC=∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，
∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，
∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠A+∠ABN=90°，
即：2∠DBN+∠A=90°.
【分析】（1）根据平行线的性质得：∠A+∠ABN=180°；再根据角平分线的性质得：，，进而求出∠CBD.
（2）根据角平分线的性质得：；再根据平行线的性质得：，，进而可以得到 与之间的数量关系 .
（3）根据平行线的性质得：；再根据角平分线的性质得：，，∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN；最后根据平行线的性质得：，∠A+∠ABN=90°，即可解出答案.
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