2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第3-4节）培优卷
一、选择题
1．（2023·长春）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津市）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
3．（2023八上·合江期中）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
4．（2023八上·麻阳期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CB，DA＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（ ）
①AC⊥BD；②AC＝2OA；③AC平分∠BAD；④四边形ABCD的面积＝AC BD.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90° B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
7．（2023八上·长沙月考）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八上·丰南期中）如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
9．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2024八上·石碣期末）如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是 .
12．（2023八上·合江期中）如图，A、B、C在同一条直线上，和均为等边三角形，、分别交、于点M、N，下列结论中：①，②，③，④，⑤平分，其中正确的有 ．（填序号）
13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
14．（2023八上·江油期中）如图，在△ABC内有一点O到△ABC三个顶点的距离相等，连接OA、OB、OC．若∠BAO＝25°，∠ACO＝55°，则∠BOC的度数为 ．
15．（2023八上·九龙坡期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点D为直线EF上的任意一点，则△ABD周长的最小值是 ．
16．（2024八上·宽城期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
三、解答题
17．（2022八上·吉林期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
18．（2023八上·五华期中）如图，AD是的角平分线，DE．DF分别是和的高，．
（1）求DF的长；
（2）求证：AD垂直平分EF．
19．（2023八上·禹城月考）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连接，当，，时，求的长.
20．（2023八上·北京市月考） 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
21．（2024八上·毕节期末） 如图，和都是正三角形，和交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：平分．
22．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
23．（2023九上·潍坊开学考）如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）【概念理解】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）【性质探究】如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）【解决问题】如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝8，AB＝10，求GE的长．
24．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC = 2AE =8，DA= DC，
∴∠DAC= ∠C，
∵BD = CD，
∴BD = AD，
∴∠B = ∠BAD，
∵∠B+∠BAD+ZC+∠DAC =180°，
∴2∠BAD+2∠DAC = 180°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC =90°，
∵BC =BD+CD =2AD =10，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线求出AC = 2AE =8，DA= DC，再求出∠B = ∠BAD，最后利用勾股定理计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点C是点B关于EF的对称点，
∴线段CD是PD+PB的最小值，
∵，于点，
∴的面积 ==，
∴CD=4，
∵AB=AC，
∴BD=，
∴的周长的最小值是：CD+BD=4+3=7。
故答案为：B.
【分析】首先根据垂直平分线的性质得出点C是点B关于EF的对称点，然后再根据轴对称的性质得出线段CD是PD+PB的最小值，从而得出的周长的最小值是：CD+BD，然后根据三角形的面积和等腰三角形的性质可分别求得CD与BD的长，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴点，点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，故①②正确；
无法得到平分，故③错误；
四边形的面积为；故④正确；
∴米，
故答案为：C
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，进而即可判断①②③；再根据四边形的面积即可判断④。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG=16，
∴EA+GC+EG=16，
∴GA+EG+EG+EG+EC=16，
∴AC+2EG=16，
∵EG=1，
∴AC=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得EB=EA，GB=GC，结合周长的概念可得AC+2EG=16，然后根据EG的值就可求出AC.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线 ，
∴BD=CD，AD⊥BC，故D选项正确，不符合题意；
∴∠ADC=90°，故A选项正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线 ， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，故B选项正确，不符合题意；
题目中给出的条件不能证明AD=BC，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的三线合一可得BD=CD，AD⊥BC，从而可判断A、D选项；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，据此可判断B选项；题目中给出的条件不能证明AD=BC，据此可判断C选项.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
又，
，
，
①平分正确；
，，
，
②正确；
，
若平分，则，现有条件无法证明，
③平分错误；
，，，
，，
，，
，
④错误；
综上，正确的有①②，共2个．
故选B．
【分析】利用角平分线的性质可得，结合已知可判断，根据全等三角形的性质得到平分，故①正确；利用余角的性质可判断②正确；利用假设法结合已知条件无法判断 平分，故③错误；利用，，，可得，，进而得到，，从而判断④错误；据此，得出结论.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
，
，，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，，
，，
，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而根据角平分线的性质得到，，从而根据等腰三角形的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解。
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
11．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
为的角平分线，为的角平分线．
，，
，故①正确、 ③ 错误；
，
，
，故②正确；
，
．故④正确，
正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④．
【分析】根据三角板各角的度数和角平分线的性质，，，故①正确、 ③ 错误；结合三角形内角和定理可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得④正确，即可得解.
12．【答案】①③④⑤
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵和均为等边三角形，
∴AB=FB，BE=BC，∠ABF=∠CBE=60°，
∴∠ABF+∠EBF=∠CBE+∠EBF，
即∠ABE=∠FBC，
∴；
即①正确；
∵A、B、C在同一条直线上，
∴∠FBN=60°，
∵∠BNF=∠EBC+∠BCN=60°+∠BCN，
∴∠BNF＞∠FBN，
∴BF≠FN，
∵AB=BF，
∴AB≠FN；
即②不正确；
由①知：，
∴∠BAM=∠BFN，
∵AB=FB，∠ABM=∠FBN=60°，
∴，
∴BM=BN；
即③正确；
由①知：，
∴∠AEB=∠FCB，
∵∠ADF=∠DAB+∠FCB，
∴∠ADF=∠DAB+∠AEB=∠CBE=60°，
即④正确；
如图所示，过点B作BP⊥DA于点P，作BQ⊥DN于点Q，
由③知：，
∴∠BMP=∠BNQ，BM=BN，
又∠BPM=∠BQN=90°，
∴，
∴BM=BN，
∴DB平分∠ADC；
即⑤正确。
综上，正确的有：①③④⑤。
故答案为：①③④⑤.
【分析】首先根据SAS证明，得到①正确；然后通过证明∠BNF＞∠FBN，得出BF≠FN，进一步得出AB≠FN；得出②不正确；再根据ASA证明三角形ABM≌三角形FBN，可得出BM=BN；得到③正确；再根据三角形外角的性质可得出，∠ADF=∠DAB+∠FCB，进一步等量代换为∠ADF=∠DAB+∠AEB=∠CBE=60°，即可得出④正确；然后根据AAS证明，得出BM=BN，根据角平分线的判定定理，即可得出⑤正确，综上即可得出答案。
13．【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
14．【答案】160°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-25°×2=130°，
∵OA=OC，∠ACO=55°，
∴∠CAO=∠ACO=55°，
∴∠AOC=180°-55°×2=70°，
∴∠BOC=360°-130°-70°=160°，
故答案为：160°.
【分析】先利用角的运算求出AOB=180°-25°×2=130°，∠AOC=180°-55°×2=70°，再利用周角求出∠BOC=360°-130°-70°=160°即可.
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，设与相较于点P，
垂直平分，
点B与点C关于对称，
当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，
，，
周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】设与相较于点P，根据垂直平分线的性质可知，点B与点C关于对称，故当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解．
16．【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】5.【解答】解：如图，过点C作CE⊥OM于点E，
∵平分，，CE⊥OM，
∴CE=CA=3，
∵BG垂直平分OA，
∴BA=BO=6，
.
故答案为：9.
【分析】过点C作CE⊥OM于点E，根据角平分线的性质可得CE的长，根据垂直平分线的性质得OB的长，根据面积公式求得△OBC的面积.
17．【答案】（1）解：证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形三线合一的性质，先求出OA=OB，再利用垂线平分线性质得到OA=OC，推出OB=OC，继而证明△OBC为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求出 ∠BCF＝∠ACF＝23° ，在利用（1）中结论，得到∠OBC＝∠OCB＝23°，再利用△EDC内角和等于180°，求出∠DEC＝ 44°，最后通过外角∠OEC＝∠OBE+∠BOE，最终求出∠BOE=21°。
18．【答案】（1）解：其中DF的长为：
（2）解：利用，可以退出AD垂直平分EF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE．DF分别是和的高
∴
∴DF=DE=2
（2）在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED和Rt△AFD（HL）
∴AE=AF
∵DE=DF
∴AD垂直平分EF
【分析】（1）根据角平分线性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得Rt△AED和Rt△AFD，则AE=AF，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，
∴
点为的中点，
，
≌；
（2）解：∵≌，
，，
，
，
∴
的长为．
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由AD∥BC，得到∠F=∠EBC，再根据对顶角相等，得到∠BEC=∠FED，再加上DE=DC，AAS推出；
（2）由，得到BC =FD=2，EB=EF，又AE⊥BF，得到AE为BF的垂直平分线，推出AB=AF=AD+DF=3。
20．【答案】（1）解：证明：∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE．
又∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ECF＝∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
在△FEC与△AED中，
∵，
∴△FEC≌△AED（ASA），
∴CF＝AD；
（2）解：当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上，
其理由是：
∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，
∴AB＝BC+AD，
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先证出 ∠ECF＝∠ADE， CE=DE，再利用“ASA”证出△FEC≌△AED，可得CF=AD；
（2）当BC＝6时，求出AB=BF，可证出△ABF是等腰三角形，即可得到点B在AF的垂直平分线上．
21．【答案】（1）证明：和都是正三角形，
，，，
，即，
≌．
（2）解：过点作交于点，过点作交于点，
由可得≌，
，，
又，，
，
平分．
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备全等的条件，利用SAS证明全等；
（2） 过点作交于点，过点作交于点 ，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式证明AG=AH，再利用角平分线的判定证明。
22．【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
23．【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．证明如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）解：连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6，CG＝8，BE＝10，
∴GE2＝CG2+BE2-CB2＝292，
∴GE＝2．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据选段垂直平分线的定义及性质可得点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，则直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可求出答案.
（2）由AC⊥BD可得∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）连接CG、BE，根据全等三角形判定定理可得△GAB≌△CAE，则∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，可得四边形CGEB是垂美四边形，再根据勾股定理即可求出答案.
24．【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第一章第3-4节）培优卷
一、选择题
1．（2023·长春）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得DA=EA，DF=EF，A、C不符合题意；
∵A和F在ED的垂直平分线上，
∴，D不符合题意；
∴不一定成立，B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据作图-角平分线，进而根据垂直平分线的判定对选项逐一分析即可求解。
2．（2023·天津市）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC = 2AE =8，DA= DC，
∴∠DAC= ∠C，
∵BD = CD，
∴BD = AD，
∴∠B = ∠BAD，
∵∠B+∠BAD+ZC+∠DAC =180°，
∴2∠BAD+2∠DAC = 180°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC =90°，
∵BC =BD+CD =2AD =10，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线求出AC = 2AE =8，DA= DC，再求出∠B = ∠BAD，最后利用勾股定理计算求解即可。
3．（2023八上·合江期中）如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点C是点B关于EF的对称点，
∴线段CD是PD+PB的最小值，
∵，于点，
∴的面积 ==，
∴CD=4，
∵AB=AC，
∴BD=，
∴的周长的最小值是：CD+BD=4+3=7。
故答案为：B.
【分析】首先根据垂直平分线的性质得出点C是点B关于EF的对称点，然后再根据轴对称的性质得出线段CD是PD+PB的最小值，从而得出的周长的最小值是：CD+BD，然后根据三角形的面积和等腰三角形的性质可分别求得CD与BD的长，即可得出答案。
4．（2023八上·麻阳期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CB，DA＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（ ）
①AC⊥BD；②AC＝2OA；③AC平分∠BAD；④四边形ABCD的面积＝AC BD.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴点，点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，故①②正确；
无法得到平分，故③错误；
四边形的面积为；故④正确；
∴米，
故答案为：C
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，进而即可判断①②③；再根据四边形的面积即可判断④。
5．（2021八上·丹徒月考）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG=16，
∴EA+GC+EG=16，
∴GA+EG+EG+EG+EC=16，
∴AC+2EG=16，
∵EG=1，
∴AC=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质可得EB=EA，GB=GC，结合周长的概念可得AC+2EG=16，然后根据EG的值就可求出AC.
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90° B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线 ，
∴BD=CD，AD⊥BC，故D选项正确，不符合题意；
∴∠ADC=90°，故A选项正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的角平分线 ， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，故B选项正确，不符合题意；
题目中给出的条件不能证明AD=BC，故C选项错误，符合题意.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的三线合一可得BD=CD，AD⊥BC，从而可判断A、D选项；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，据此可判断B选项；题目中给出的条件不能证明AD=BC，据此可判断C选项.
7．（2023八上·长沙月考）如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：平分，，，
，
又，
，
，
①平分正确；
，，
，
②正确；
，
若平分，则，现有条件无法证明，
③平分错误；
，，，
，，
，，
，
④错误；
综上，正确的有①②，共2个．
故选B．
【分析】利用角平分线的性质可得，结合已知可判断，根据全等三角形的性质得到平分，故①正确；利用余角的性质可判断②正确；利用假设法结合已知条件无法判断 平分，故③错误；利用，，，可得，，进而得到，，从而判断④错误；据此，得出结论.
8．（2023八上·丰南期中）如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
，
，，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，，
，，
，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而根据角平分线的性质得到，，从而根据等腰三角形的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解。
9．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
10．（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
二、填空题
11．（2024八上·石碣期末）如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
为的角平分线，为的角平分线．
，，
，故①正确、 ③ 错误；
，
，
，故②正确；
，
．故④正确，
正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④．
【分析】根据三角板各角的度数和角平分线的性质，，，故①正确、 ③ 错误；结合三角形内角和定理可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得④正确，即可得解.
12．（2023八上·合江期中）如图，A、B、C在同一条直线上，和均为等边三角形，、分别交、于点M、N，下列结论中：①，②，③，④，⑤平分，其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④⑤
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵和均为等边三角形，
∴AB=FB，BE=BC，∠ABF=∠CBE=60°，
∴∠ABF+∠EBF=∠CBE+∠EBF，
即∠ABE=∠FBC，
∴；
即①正确；
∵A、B、C在同一条直线上，
∴∠FBN=60°，
∵∠BNF=∠EBC+∠BCN=60°+∠BCN，
∴∠BNF＞∠FBN，
∴BF≠FN，
∵AB=BF，
∴AB≠FN；
即②不正确；
由①知：，
∴∠BAM=∠BFN，
∵AB=FB，∠ABM=∠FBN=60°，
∴，
∴BM=BN；
即③正确；
由①知：，
∴∠AEB=∠FCB，
∵∠ADF=∠DAB+∠FCB，
∴∠ADF=∠DAB+∠AEB=∠CBE=60°，
即④正确；
如图所示，过点B作BP⊥DA于点P，作BQ⊥DN于点Q，
由③知：，
∴∠BMP=∠BNQ，BM=BN，
又∠BPM=∠BQN=90°，
∴，
∴BM=BN，
∴DB平分∠ADC；
即⑤正确。
综上，正确的有：①③④⑤。
故答案为：①③④⑤.
【分析】首先根据SAS证明，得到①正确；然后通过证明∠BNF＞∠FBN，得出BF≠FN，进一步得出AB≠FN；得出②不正确；再根据ASA证明三角形ABM≌三角形FBN，可得出BM=BN；得到③正确；再根据三角形外角的性质可得出，∠ADF=∠DAB+∠FCB，进一步等量代换为∠ADF=∠DAB+∠AEB=∠CBE=60°，即可得出④正确；然后根据AAS证明，得出BM=BN，根据角平分线的判定定理，即可得出⑤正确，综上即可得出答案。
13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
14．（2023八上·江油期中）如图，在△ABC内有一点O到△ABC三个顶点的距离相等，连接OA、OB、OC．若∠BAO＝25°，∠ACO＝55°，则∠BOC的度数为 ．
【答案】160°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】∵OA=OB，∠BAO=25°，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠AOB=180°-25°×2=130°，
∵OA=OC，∠ACO=55°，
∴∠CAO=∠ACO=55°，
∴∠AOC=180°-55°×2=70°，
∴∠BOC=360°-130°-70°=160°，
故答案为：160°.
【分析】先利用角的运算求出AOB=180°-25°×2=130°，∠AOC=180°-55°×2=70°，再利用周角求出∠BOC=360°-130°-70°=160°即可.
15．（2023八上·九龙坡期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，EF垂直平分BC，点D为直线EF上的任意一点，则△ABD周长的最小值是 ．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，设与相较于点P，
垂直平分，
点B与点C关于对称，
当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，
，，
周长的最小值是，
故答案为：．
【分析】设与相较于点P，根据垂直平分线的性质可知，点B与点C关于对称，故当点D与点P重合时，的值最小，最小值等于的长，即可求解．
16．（2024八上·宽城期末）如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】5.【解答】解：如图，过点C作CE⊥OM于点E，
∵平分，，CE⊥OM，
∴CE=CA=3，
∵BG垂直平分OA，
∴BA=BO=6，
.
故答案为：9.
【分析】过点C作CE⊥OM于点E，根据角平分线的性质可得CE的长，根据垂直平分线的性质得OB的长，根据面积公式求得△OBC的面积.
三、解答题
17．（2022八上·吉林期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB．
（1）求证：△OBC为等腰三角形；
（2）若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）解：证明：连接OA，如图，
∵AC＝BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）解：∵CA＝CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ACF＝23°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝23°，
∵∠EDC＝90°
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝90°﹣23°﹣23°＝44°，
∵∠OEC＝∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE＝44°﹣23°＝21°．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形三线合一的性质，先求出OA=OB，再利用垂线平分线性质得到OA=OC，推出OB=OC，继而证明△OBC为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求出 ∠BCF＝∠ACF＝23° ，在利用（1）中结论，得到∠OBC＝∠OCB＝23°，再利用△EDC内角和等于180°，求出∠DEC＝ 44°，最后通过外角∠OEC＝∠OBE+∠BOE，最终求出∠BOE=21°。
18．（2023八上·五华期中）如图，AD是的角平分线，DE．DF分别是和的高，．
（1）求DF的长；
（2）求证：AD垂直平分EF．
【答案】（1）解：其中DF的长为：
（2）解：利用，可以退出AD垂直平分EF
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE．DF分别是和的高
∴
∴DF=DE=2
（2）在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED和Rt△AFD（HL）
∴AE=AF
∵DE=DF
∴AD垂直平分EF
【分析】（1）根据角平分线性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得Rt△AED和Rt△AFD，则AE=AF，即可求出答案.
19．（2023八上·禹城月考）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连接，当，，时，求的长.
【答案】（1）解：，
∴
点为的中点，
，
≌；
（2）解：∵≌，
，，
，
，
∴
的长为．
【知识点】全等三角形的应用；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由AD∥BC，得到∠F=∠EBC，再根据对顶角相等，得到∠BEC=∠FED，再加上DE=DC，AAS推出；
（2）由，得到BC =FD=2，EB=EF，又AE⊥BF，得到AE为BF的垂直平分线，推出AB=AF=AD+DF=3。
20．（2023八上·北京市月考） 如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若AD＝2，AB＝8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
【答案】（1）解：证明：∵AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE．
又∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ECF＝∠ADE，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
在△FEC与△AED中，
∵，
∴△FEC≌△AED（ASA），
∴CF＝AD；
（2）解：当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上，
其理由是：
∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，
∴AB＝BC+AD，
又∵CF＝AD，BC+CF＝BF，
∴AB＝BF，
∴△ABF是等腰三角形，
∴点B在AF的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先证出 ∠ECF＝∠ADE， CE=DE，再利用“ASA”证出△FEC≌△AED，可得CF=AD；
（2）当BC＝6时，求出AB=BF，可证出△ABF是等腰三角形，即可得到点B在AF的垂直平分线上．
21．（2024八上·毕节期末） 如图，和都是正三角形，和交于点．
（1）求证：≌；
（2）求证：平分．
【答案】（1）证明：和都是正三角形，
，，，
，即，
≌．
（2）解：过点作交于点，过点作交于点，
由可得≌，
，，
又，，
，
平分．
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备全等的条件，利用SAS证明全等；
（2） 过点作交于点，过点作交于点 ，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式证明AG=AH，再利用角平分线的判定证明。
22．（2023七下·槐荫期末）教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
（1）请根据所给教材内容，写出结论： （填“”、“”或“”）
（2）结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）
（3）应用上述结论解决下列题目：
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点D，且D为的中点．
①求证：；（推理过程请注明理由）
②若，求的度数．
【答案】（1）=
（2）证明：如图5-11，
点是线段垂直平分线上的一点，（已知）
，（垂直平分线定义），
（垂直定义），
在和中，
，
，
；（全等三角形的对应边相等）．
（3）解：①证明：是的垂直平分线，（已知），
，（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
，D为的中点，
是的垂直平分线，
（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
（等量代换）；
②，，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（3）①先根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意根据垂直平分线的判定与性质得到，再等量代换即可求解；
②先根据等腰三角形的性质得到，再结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
23．（2023九上·潍坊开学考）如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）【概念理解】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）【性质探究】如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）【解决问题】如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝8，AB＝10，求GE的长．
【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．证明如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）解：连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝6，CG＝8，BE＝10，
∴GE2＝CG2+BE2-CB2＝292，
∴GE＝2．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据选段垂直平分线的定义及性质可得点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，则直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据垂美四边形的定义即可求出答案.
（2）由AC⊥BD可得∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）连接CG、BE，根据全等三角形判定定理可得△GAB≌△CAE，则∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，可得四边形CGEB是垂美四边形，再根据勾股定理即可求出答案.
24．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
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