2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第一章）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八下·牡丹期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点
B．△ABC 三边的垂直平分线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点
D．△ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案。
2．（2018八下·深圳月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
3．（2023八上·乾安期中）如图．在△ABC中，AB=AC．D是BC上一点，DE⊥AB于点E，若∠A=50"，则∠BDE的度数是（ ）
A．65° B．50° C．30° D．25°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=AC ， ∠A=50°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DE⊥AB ，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE =90°-∠B=90°-65°=25°。
故答案为：D.
【分析】根据等边对等角求出∠B=∠C=65°，根据直角三角形两个锐角互余计算。
4．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
6．（2023八上·河东期中）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长是5cm时，周长是：5+5+6=16cm；
当等腰三角形的腰长是6cm时，周长是5+6+6=17cm；
故答案为： D.
【分析】第三边长是 或，分两种情况进行讨论，求解即可.
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AB=2BD C．AD⊥BC D．BD=CD
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵ 在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，故此选项正确，不符合题意；
B、 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ BC=2BD ，由于题目给出的条件不能证明AB=BC，∴得不出AB=2BD，故此选项错误，符合题意；
C、∵ 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC ，故此选项正确，不符合题意；
D、∵ 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ BD=CD ，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可判断A选项；根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高线，顶角的角平分线互相重合可判断C、D、B选项.
8．（2023八下·双流期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于，两点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB边的垂直平分线，
∴MA=MB，
∴ △ACM的周长AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC，
∵ AC=6，BC=10，
∴△ACM的周长=AC+BC=16，
故答案为：C.
【分析】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
9．（2023七下·深圳期末）如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解： ∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
结合选项可知，A选项的作图为线段AB垂直平分线，符合题意，
故答案为：A .
【分析】 由题意可得PA=PB，则点P在线段AB垂直平分线上，结合垂直平分线的作图即可得出答案．
10．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八上·吉林期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长是15，AC比BC长3，则AC长为 ．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：EA=EB，则，又∵AC-BC=3，∴BC=AC-3，带入可得：AC-3+AC=15，解得AC=9。
故答案为：9.
【分析】先由垂直平分线得到EA=EB，然后根据的周长为15，再通过线段等量代换，得到BC+AC=15，再利用条件 "AC比BC长3"，最终求出AC长。
12．（2023八上·海林期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么点M到线段AB的距离是 .
【答案】20cm
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点M作MD⊥AB交AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，CM=20cm，
∴MD=CM=20cm.
故答案为：20cm.
【分析】过点M作MD⊥AB交AB于D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解.
13．（2023八上·河东期中）如图所示，添加一个条件可使用“”判定与全等可以添加的条件是 ．
【答案】AC=AD或 BC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意， ， AB=AB ，
∴要使用HL证明三角形全等，需要添加AC=AD或B=BD .
故答案为：AC = AD 或 BC = BD .
【分析】根据 判断即可.
14．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
15．（2022八下·南山期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=3，
∴DC=DE=3，
∵BC=8，
∴BD=BCDC=83=5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质求出DC=DE=3，再计算求解即可。
16．（2023八下·长春期末）如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：由题意可得
故答案为：2
【分析】根据角平分线性质及两直线平行，内错角相等得出，得到AE=AB即可求出答案。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·南昌月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图（1）中作的平分线；
（2）在图（2）中作出直线，使直线同时满足以下两个条件：
①直线过点C；
②点A，点B到直线的距离相等．
【答案】（1）解：如图1，射线就是的平分线；
（2）解：如图2，直线即为所求．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）构造正方形ABCD，连接BD并延长，射线BD即为所求；
（2）构造正方形ABCD，CD所在直线即为所求.
18．（2021·曾都模拟）如图，在 中， 是 边上的中线，E是 边上一点，过点 作 交 的延长线于点F.
（1）求证： .
（2）当 ， ， 时，求 的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE＋BE＝2＋4＝6，于是得到结论.
19．（2019八上·成都开学考）如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F，EG 平分∠AEF，
（1）求证：△EGF 是等腰三角形．
（2）若∠1=40°，求∠2 的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠FEG，
∴∠1=∠FEG，
∴FE=FG，
即△EGF是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=40°，∠1=∠AEG=∠FEG，
∴∠AEF=40°+40°=80°，
∴∠2=180°-80°=100°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠1=∠AEG，求出∠AEG=∠FEG，推出∠1=∠FEG，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）求出∠AEF的度数，根据邻补角定义求出即可．
20．（2019八下·鹿角镇期中）已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，
（1）求证：AD=BE
（2）求：∠BFD的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中 ，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD=BE(全等三角形对应边相等)；
（2）解：∵△ABE≌△CAD(已证)，
∴∠ABE=∠CAD(全等三角形对应角相等)，
又∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC，
又∠BAC=60°，
∴∠BFD=60°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形各边长相等的性质可得AB=AC，易证△ABE≌△CAD可得AD=BE；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠CAD，进而根据∠BFD=∠BAD+∠ABE即可求∠BFD的度数.
21．（2023七下·禅城期末）如图，在中，．
（1）求作：的角平分线交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）如图所示：
（2）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则．
∵，
∴，
∴，即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图，作出∠ABC的平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可推出，，设，则，根据三角形内角和定理建立关于x方程并解之即可.
22．（2023八下·毕节期末）已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
（1）求证：：
（2）求证：为等边三角形．
【答案】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换求出，再利用“SAS”证出，可得AN=BM；
（2）先证出，可得，再结合，可证出 是等边三角形．
23．（2019·嘉兴模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在三边上，且BE＝CD，BD＝CF，G为EF的中点．
（1）若∠A＝40°，求∠B的度数；
（2）试说明：DG垂直平分EF.
【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠B= =70°
（2）解：如图连接DE，DF，
在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF（三角形全等其对应边相等），
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，
∴DG垂直平分EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可证得∠B=∠C，再利用三角形内角和定理求出∠B的度数。
（2） 连接DE，DF ，利用SAS证明△BDE≌△CFD，利用全等三角形的性质，可证得DE=DF，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证得结论。
24．（2023八上·蕲春期中）如图，已知，，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在的延长线上，交于F，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若在D点运动的过程中，始终有在此过程中，的度数是否变化 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）证明：如图，过点A作于点M，作于点N．
则．
∵，，
∴，
∵，
∴（）
∴．
∴AD平分．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
（3）解：的度数不变化；
如图，理由：在上截取，连接．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，．
∴，即是等边三角形，
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，可知线段OB=OC；根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据等量代换原则，可得∠BDC=∠BAC；根据三角形内角和定理和等量代换原则，可得∠ABD=∠ACD；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据三角形全等的判定和性质，可得AM=AN；根据等腰三角形的性质，可得AD平分∠CDE；
（3）根据等量代换原则，可得AD=PD；根据三角形全等的判定和性质，可得AD=AP，∠BAD=∠CAP；根据等边三角形的判定和性质，可得△ADP是等边三角形，∠DAP=60°；根据等量代换原则，即可求出∠BAC为60°.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第一章）基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八下·牡丹期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点
B．△ABC 三边的垂直平分线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点
D．△ABC 三条高所在直线的交点
2．（2018八下·深圳月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
3．（2023八上·乾安期中）如图．在△ABC中，AB=AC．D是BC上一点，DE⊥AB于点E，若∠A=50"，则∠BDE的度数是（ ）
A．65° B．50° C．30° D．25°
4．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
6．（2023八上·河东期中）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AB=2BD C．AD⊥BC D．BD=CD
8．（2023八下·双流期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于，两点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023七下·深圳期末）如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八上·吉林期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长是15，AC比BC长3，则AC长为 ．
12．（2023八上·海林期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么点M到线段AB的距离是 .
13．（2023八上·河东期中）如图所示，添加一个条件可使用“”判定与全等可以添加的条件是 ．
14．如图，在△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E．若BD2+CE2=DE2，则∠A= ．
15．（2022八下·南山期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为 ．
16．（2023八下·长春期末）如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·南昌月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图（1）中作的平分线；
（2）在图（2）中作出直线，使直线同时满足以下两个条件：
①直线过点C；
②点A，点B到直线的距离相等．
18．（2021·曾都模拟）如图，在 中， 是 边上的中线，E是 边上一点，过点 作 交 的延长线于点F.
（1）求证： .
（2）当 ， ， 时，求 的长.
19．（2019八上·成都开学考）如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F，EG 平分∠AEF，
（1）求证：△EGF 是等腰三角形．
（2）若∠1=40°，求∠2 的度数．
20．（2019八下·鹿角镇期中）已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，
（1）求证：AD=BE
（2）求：∠BFD的度数.
21．（2023七下·禅城期末）如图，在中，．
（1）求作：的角平分线交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
22．（2023八下·毕节期末）已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
（1）求证：：
（2）求证：为等边三角形．
23．（2019·嘉兴模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在三边上，且BE＝CD，BD＝CF，G为EF的中点．
（1）若∠A＝40°，求∠B的度数；
（2）试说明：DG垂直平分EF.
24．（2023八上·蕲春期中）如图，已知，，A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在的延长线上，交于F，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若在D点运动的过程中，始终有在此过程中，的度数是否变化 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案。
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= （90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角= [180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=AC ， ∠A=50°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DE⊥AB ，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE =90°-∠B=90°-65°=25°。
故答案为：D.
【分析】根据等边对等角求出∠B=∠C=65°，根据直角三角形两个锐角互余计算。
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长是5cm时，周长是：5+5+6=16cm；
当等腰三角形的腰长是6cm时，周长是5+6+6=17cm；
故答案为： D.
【分析】第三边长是 或，分两种情况进行讨论，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵ 在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，故此选项正确，不符合题意；
B、 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ BC=2BD ，由于题目给出的条件不能证明AB=BC，∴得不出AB=2BD，故此选项错误，符合题意；
C、∵ 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC ，故此选项正确，不符合题意；
D、∵ 在△ABC中，AB=AC， AD平分∠BAC， ∴ BD=CD ，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可判断A选项；根据等腰三角形底边上的中线，底边上的高线，顶角的角平分线互相重合可判断C、D、B选项.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB边的垂直平分线，
∴MA=MB，
∴ △ACM的周长AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC，
∵ AC=6，BC=10，
∴△ACM的周长=AC+BC=16，
故答案为：C.
【分析】线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
9．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解： ∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
结合选项可知，A选项的作图为线段AB垂直平分线，符合题意，
故答案为：A .
【分析】 由题意可得PA=PB，则点P在线段AB垂直平分线上，结合垂直平分线的作图即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
11．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：EA=EB，则，又∵AC-BC=3，∴BC=AC-3，带入可得：AC-3+AC=15，解得AC=9。
故答案为：9.
【分析】先由垂直平分线得到EA=EB，然后根据的周长为15，再通过线段等量代换，得到BC+AC=15，再利用条件 "AC比BC长3"，最终求出AC长。
12．【答案】20cm
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点M作MD⊥AB交AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，CM=20cm，
∴MD=CM=20cm.
故答案为：20cm.
【分析】过点M作MD⊥AB交AB于D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求解.
13．【答案】AC=AD或 BC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由题意， ， AB=AB ，
∴要使用HL证明三角形全等，需要添加AC=AD或B=BD .
故答案为：AC = AD 或 BC = BD .
【分析】根据 判断即可.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AD和AE，如下图：
∵边AB，AC的中垂线分别交BC于点D，E
∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC
∵BD2+CE2=DE2
∴ AD2+AE2=DE2 ∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE= 90°
∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90° = 180°
∴2（∠B+∠C）=90° ∴∠B+∠C=
∴∠A=180° -=
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根据勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根据三角形内角和定理，可得∠B+∠C的值，进而求出∠A的值.
15．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=3，
∴DC=DE=3，
∵BC=8，
∴BD=BCDC=83=5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质求出DC=DE=3，再计算求解即可。
16．【答案】2
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；内错角的概念
【解析】【解答】解：由题意可得
故答案为：2
【分析】根据角平分线性质及两直线平行，内错角相等得出，得到AE=AB即可求出答案。
17．【答案】（1）解：如图1，射线就是的平分线；
（2）解：如图2，直线即为所求．
【知识点】作图-平行线；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）构造正方形ABCD，连接BD并延长，射线BD即为所求；
（2）构造正方形ABCD，CD所在直线即为所求.
18．【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE＋BE＝2＋4＝6，于是得到结论.
19．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠FEG，
∴∠1=∠FEG，
∴FE=FG，
即△EGF是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=40°，∠1=∠AEG=∠FEG，
∴∠AEF=40°+40°=80°，
∴∠2=180°-80°=100°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠1=∠AEG，求出∠AEG=∠FEG，推出∠1=∠FEG，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）求出∠AEF的度数，根据邻补角定义求出即可．
20．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中 ，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD=BE(全等三角形对应边相等)；
（2）解：∵△ABE≌△CAD(已证)，
∴∠ABE=∠CAD(全等三角形对应角相等)，
又∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC，
又∠BAC=60°，
∴∠BFD=60°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形各边长相等的性质可得AB=AC，易证△ABE≌△CAD可得AD=BE；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠CAD，进而根据∠BFD=∠BAD+∠ABE即可求∠BFD的度数.
21．【答案】（1）如图所示：
（2）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则．
∵，
∴，
∴，即．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图，作出∠ABC的平分线即可；
（2）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可推出，，设，则，根据三角形内角和定理建立关于x方程并解之即可.
22．【答案】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换求出，再利用“SAS”证出，可得AN=BM；
（2）先证出，可得，再结合，可证出 是等边三角形．
23．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠B= =70°
（2）解：如图连接DE，DF，
在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF（三角形全等其对应边相等），
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，
∴DG垂直平分EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可证得∠B=∠C，再利用三角形内角和定理求出∠B的度数。
（2） 连接DE，DF ，利用SAS证明△BDE≌△CFD，利用全等三角形的性质，可证得DE=DF，再利用等腰三角形三线合一的性质，可证得结论。
24．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）证明：如图，过点A作于点M，作于点N．
则．
∵，，
∴，
∵，
∴（）
∴．
∴AD平分．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
（3）解：的度数不变化；
如图，理由：在上截取，连接．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，．
∴，即是等边三角形，
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，可知线段OB=OC；根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据等量代换原则，可得∠BDC=∠BAC；根据三角形内角和定理和等量代换原则，可得∠ABD=∠ACD；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，可得AB=AC；根据三角形全等的判定和性质，可得AM=AN；根据等腰三角形的性质，可得AD平分∠CDE；
（3）根据等量代换原则，可得AD=PD；根据三角形全等的判定和性质，可得AD=AP，∠BAD=∠CAP；根据等边三角形的判定和性质，可得△ADP是等边三角形，∠DAP=60°；根据等量代换原则，即可求出∠BAC为60°.
1 / 1
