2024年北师大版数学八年级下册周测卷（第三章第1-2节）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·青岛）如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：平移后的点A的坐标为：（-2，3），
（-2，3）再 绕原点旋转得到 A'的坐标为（2，-3）。
故答案为：A。
【分析】根据图形的变换与坐标的变化，即可求得答案。
2．（2023·黄石）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵线段CD由线段AB平移得到，
∴平移的方向是A到C，平移的距离为AC长，
∵A（1，0），C（-2，1），B（4，m），D（a，n），
∴A与C，B与D分别为对应点，∴m-n=0-1=-1．
故答案为：B.
【分析】先根据A，C两点的坐标，确定平移的方向和距离，再求m-n的值.
3．（2023·通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE平移得到△DCF，a=4，
∴平移距离为AD=a=4.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得：平移距离为AD，据此解答.
4．（2023·聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到轴对称后的坐标，进而根据平移坐标的变化规律即可求解。
5．（2023·南充）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得BC=EF=5，
∵，
∴CE=3，
∴CF=5-3=2，
故答案为：A
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
6．（2023·通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵P（0，1），A（4，1），
∴PA=4.
由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，
过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°
∴BC=2，PC=，
∴B（2，1+）.
设直线PB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
当x=-1时，y=+1，故点M1不在直线PB上；
当x=-时，y=0，故点M2在直线PB上；
当x=1时，y=+1，故点M3不在直线PB上；
当x=2时，y=+1，故点M4不在直线PB上.
故答案为：B.
【分析】根据点A、P的坐标可得PA=4，由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°，BC=2，PC=，表示出点B的坐标，利用待定系数法求出直线PB的解析式，据此判断.
7．（2023·通辽）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵DE⊥AC，∠CAD=24°，
∴∠ADE=90°-24°=66°，
∴∠B=∠ADB=∠ADE=66°，
∴α=180°-∠B-∠ADB=180°-66°-66°=48°.
故答案为：C.
【分析】由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠B=∠ADB，根据余角的性质可得∠ADE=90°-∠CAD=66°，则∠B=∠ADB=∠ADE=66°，接下来利用内角和定理进行计算.
8．（2022·枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故答案为：C．
【分析】根据平移和旋转的性质作图，再求点的坐标即可。
9．（2023·天津市）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC = ∠ADE，∠BAD = ∠CAE，
又∵∠AOB= ∠DOE，
∴∠BED= ∠BAD = ∠CAE，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质求出∠ABC = ∠ADE，∠BAD = ∠CAE，再求解即可。
10．（2021·黄石）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 点的坐标是 ，现将 绕 点按逆时针方向旋转 ，则旋转后点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；旋转的性质
【解析】【解答】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形，
由图可得：点C对应点 的坐标为(-2，3) .
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质，画出图形，可得到旋转后的点C的坐标.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·淄博）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
【答案】6
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由一组对应点之间的距离可得，平移的距离为6.
故答案为：6.
【分析】根据平移的定义，可得平移的距离。
12．（2023·营口）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点M（3，-4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（-2，-4）.
故答案为：（-2，-4）.
【分析】根据点的平移规律“左减右加、上加下减”进行解答.
13．（2022·宁夏）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
【答案】3
【知识点】一次函数的图象；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：当时，，
点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
点A与其对应点间的距离为3，
即点A移动的距离是3．
故答案为：3．
【分析】根据题意可知点B与点E的纵坐标相等，都是3，故将y=3代入直线y=2x-3，可求出对应的x的值，可得到点E的坐标，然后通过比较两点的横坐标可知点A移动的距离.
14．（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 .
【答案】（-1，11）
【知识点】探索数与式的规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11）.
故答案为：（-1，11）.
【分析】根据题意可得：每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，则A8（0，-8），点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同，点A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同，据此不难得到A10的坐标.
15．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
16．（2021·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(7，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为(7，4)．
故答案为：(7，4)．
【分析】先求出四边形 为矩形，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2018·宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
又∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，
又∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知∠DCE=90°，CD=CE，根据全等三角形的判定SAS得△ACD≌△BCE.
（2）由（1）知△ACD≌△BCE，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可知AD=BE，∠CBE=∠A=45°，由等量代换得BE=BF，根据等腰三角形等边对等角和三角形的内角和定理可得∠BEF度数.
18．（2017·荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中， ，
∴△ACD≌△EDC（SAS）
（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
19．（2022九上·汕尾期中）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
【答案】（1）证明：由旋转性质可知：，，
平分．
（2）证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再证出，即可得到 平分；
（2）根据旋转的性质可得，，再利用角的运算可得，结合 ，，求出，最后求出，即可得到。
20．如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向下平移3个单位，画出平移后的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C2；并直接写出点A3、B3的坐标．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所求．
（2）如图，△A2B2C2为所求．
（3）如图，△A3B3C2为所求．
A3（2，﹣2）B3（0，﹣3）．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）找出△ABC各顶点关于y轴对称的对应点，然后顺次连接即可；
（2）找出△ABC各顶点向下平移3个单位后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出旋转后各顶点的对应点，然后顺次连接，点A3、B3的坐标可观察坐标系直接写出．
21．（2023七下·五莲期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请在图中画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点，请写出点，点的坐标并在图中画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：根据题意建立坐标系如图所示：
（2）解：点经过平移后的对应点为，
平移方式为：向右平移5个单位，向下平移3个单位，
点平移后的点，点平移后的点，
作出如图所示：
（3）解：或
【知识点】平面直角坐标系的构成；用坐标表示平移
【解析】【解答】（3）解：
由C（3，0），D（3，-3）可知，CD∥y轴，CD＝3
当M在C点和D点之间时，∵DM＝2CM，则CD＝DM+CD＝3CM＝3，∴CM＝1，∴M（3，-1）；
当M在C点上方时，∵DM＝2CM，则CM＝CD＝3，∴M（3，3），
故答案为：（3，3）或（3，-1）。
【分析】（1）根据A、B、C的坐标确定坐标轴的位置，画出平面直角坐标系。
（2）根据A点坐标的变化得出平移方向和距离，从而得出其他点平移后的位置。
（3）CD∥y轴，M点有两种可能。
22．（2023七下·夏邑期末）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示.
（1）填写下列各点的坐标：A ( ， )、A ( ， )、A ( ， )；
（2）写出点A n的坐标(n是正整数)；
（3）指出蚂蚁从点A 到点A 的移动方向.
【答案】（1）0；1；1；0；6；0
（2）A n (2n，0)
（3）解：向上
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：0，1，1，0，6，0.
（2）∵在x轴上，且，
∴A n (2n，0)，
故答案为： A n (2n，0).
（3）∵，
∴100是4的倍数，
∴蚂蚁从点A 到点A 的移动方向与原点O到 A 的方向一致，
故答案为：向上.
【分析】（1）观察图形可知 A ，A ，A 三点都在x轴上，然后计算长度即可求出坐标；
（2）写出三点坐标，观察规律即可写出 A n 的坐标；
（3）因为100是4的倍数，然后即可得知蚂蚁从点A 到点A 的移动方向与原点O到 A 的方向一致
23．（2023七下·宽城期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．
（1）如图①，当在与之间，且时，则 度， 度．
（2）如图②，当在与之间时，求与差的度数．
（3）在旋转的过程中，若，求旋转角的度数．
【答案】（1）70；40
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：旋转角为，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上，旋转角的度数为或．
【知识点】角的运算；垂线；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠COA=90°，
∵，，
∴∠AOD=70°，∠COE=40°，
故答案为：70；40
【分析】（1）根据垂直结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据垂直结合题意即可得到，，，进而即可求解；
（3）先根据旋转的性质得到旋转角为，进而分类讨论：当在与之间时，当在与之间时，在结合题意即可求解。
24．（2023七下·越秀期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，，且）开展数学活动．
操作发现：
（1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是： ；
（2）将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）解：过A作直线，交于G，而，
∴，
，
同理，
．
（3）解：垂直，理由如下
如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H
，而，
，即旋转角位，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠B=∠AB1C，
∴AB∥A1B1（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：同位角相等，两直线平行.
【分析】（1）根据平行线的判定定理进行解答；
（2）过A作直线AG∥a，交ED于G，则AG∥a∥b，有平行线的性质可得∠1=∠EAG，∠ABC=∠BAG，则∠1=∠EAG=∠BAE-∠BAG=∠BAE-∠ABC，据此计算；
（3）当AB∥DE时，延长B′A′交BA于点H，有平行线的性质可得∠EDA=∠DHA′=90°，则∠DHA′=∠AHA′=90°，推出AH∥A′C，易得∠ACA′=90°，据此解答.
1 / 12024年北师大版数学八年级下册周测卷（第三章第1-2节）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·青岛）如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黄石）如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
4．（2023·聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·南充）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．5
6．（2023·通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转得到点B，在，，，四个点中，直线经过的点是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·通辽）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·枣庄）如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
9．（2023·天津市）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·黄石）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 点的坐标是 ，现将 绕 点按逆时针方向旋转 ，则旋转后点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·淄博）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
12．（2023·营口）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ．
13．（2022·宁夏）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
14．（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 .
15．（2023·金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是 .
16．（2021·吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接 ，若将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，则点 的坐标为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2018·宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
18．（2017·荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
（1）求证：△ACD≌△EDC；
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．
19．（2022九上·汕尾期中）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
20．如图所示，在边长为1个单位的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向下平移3个单位，画出平移后的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C2；并直接写出点A3、B3的坐标．
21．（2023七下·五莲期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请在图中画出这个平面直角坐标系；
（2）点经过平移后的对应点为，将作同样的平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点，请写出点，点的坐标并在图中画出平移后的；
（3）在（2）的条件下，点在直线上，若，直接写出点的坐标．
22．（2023七下·夏邑期末）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示.
（1）填写下列各点的坐标：A ( ， )、A ( ， )、A ( ， )；
（2）写出点A n的坐标(n是正整数)；
（3）指出蚂蚁从点A 到点A 的移动方向.
23．（2023七下·宽城期末）如图，点O在直线上，．在中，，．先将的一边与重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当与重合时停止旋转．
（1）如图①，当在与之间，且时，则 度， 度．
（2）如图②，当在与之间时，求与差的度数．
（3）在旋转的过程中，若，求旋转角的度数．
24．（2023七下·越秀期末）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，，且）开展数学活动．
操作发现：
（1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，我们会发现，推理的根据是： ；
（2）将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，点A与点F重合，求的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形能点C旋转一周，当时，请判断直线和直线b是否垂直，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：平移后的点A的坐标为：（-2，3），
（-2，3）再 绕原点旋转得到 A'的坐标为（2，-3）。
故答案为：A。
【分析】根据图形的变换与坐标的变化，即可求得答案。
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： ∵线段CD由线段AB平移得到，
∴平移的方向是A到C，平移的距离为AC长，
∵A（1，0），C（-2，1），B（4，m），D（a，n），
∴A与C，B与D分别为对应点，∴m-n=0-1=-1．
故答案为：B.
【分析】先根据A，C两点的坐标，确定平移的方向和距离，再求m-n的值.
3．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABE平移得到△DCF，a=4，
∴平移距离为AD=a=4.
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得：平移距离为AD，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到轴对称后的坐标，进而根据平移坐标的变化规律即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移得BC=EF=5，
∵，
∴CE=3，
∴CF=5-3=2，
故答案为：A
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵P（0，1），A（4，1），
∴PA=4.
由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，
过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°
∴BC=2，PC=，
∴B（2，1+）.
设直线PB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x+1.
当x=-1时，y=+1，故点M1不在直线PB上；
当x=-时，y=0，故点M2在直线PB上；
当x=1时，y=+1，故点M3不在直线PB上；
当x=2时，y=+1，故点M4不在直线PB上.
故答案为：B.
【分析】根据点A、P的坐标可得PA=4，由旋转可得∠APB=60°，AP=BP=4，过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC=30°，BC=2，PC=，表示出点B的坐标，利用待定系数法求出直线PB的解析式，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵DE⊥AC，∠CAD=24°，
∴∠ADE=90°-24°=66°，
∴∠B=∠ADB=∠ADE=66°，
∴α=180°-∠B-∠ADB=180°-66°-66°=48°.
故答案为：C.
【分析】由旋转可得∠B=∠ADE，AB=AD，则∠B=∠ADB，根据余角的性质可得∠ADE=90°-∠CAD=66°，则∠B=∠ADB=∠ADE=66°，接下来利用内角和定理进行计算.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】作出旋转后的图形如下：
∴B'点的坐标为（4，﹣1），
故答案为：C．
【分析】根据平移和旋转的性质作图，再求点的坐标即可。
9．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD与BE的交点为O，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC = ∠ADE，∠BAD = ∠CAE，
又∵∠AOB= ∠DOE，
∴∠BED= ∠BAD = ∠CAE，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质求出∠ABC = ∠ADE，∠BAD = ∠CAE，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】点的坐标；旋转的性质
【解析】【解答】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形，
由图可得：点C对应点 的坐标为(-2，3) .
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质，画出图形，可得到旋转后的点C的坐标.
11．【答案】6
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由一组对应点之间的距离可得，平移的距离为6.
故答案为：6.
【分析】根据平移的定义，可得平移的距离。
12．【答案】
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点M（3，-4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（-2，-4）.
故答案为：（-2，-4）.
【分析】根据点的平移规律“左减右加、上加下减”进行解答.
13．【答案】3
【知识点】一次函数的图象；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：当时，，
点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
点A与其对应点间的距离为3，
即点A移动的距离是3．
故答案为：3．
【分析】根据题意可知点B与点E的纵坐标相等，都是3，故将y=3代入直线y=2x-3，可求出对应的x的值，可得到点E的坐标，然后通过比较两点的横坐标可知点A移动的距离.
14．【答案】（-1，11）
【知识点】探索数与式的规律；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11）.
故答案为：（-1，11）.
【分析】根据题意可得：每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，则A8（0，-8），点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同，点A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同，据此不难得到A10的坐标.
15．【答案】（-5，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点A（4，5），
∴AD=4，OD=5，
将点A绕原点O逆时针方向旋转90° 得到点B，
∴∠AOD+∠DOB=90°=∠DOB+∠BOC，OA=OB，
∴∠BOC=∠AOD，
在△AOD与△BOC中，
∵∠ADO=∠BCO=90°，∠BOC=∠AOD，OA=OB，
∴△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4，OC=OD=5，
∴点B（-5，4）.
故答案为：（-5，4）.
【分析】根据题意作出图形，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得AD=4，OD=5，由旋转的性质得OA=OB，由同角的余角相等得∠BOC=∠AOD，从而利用AAS判断出△AOD≌△BOC，得BC=AD=4，OC=OD=5，此题得解了.
16．【答案】(7，4)
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：作 轴于点 ，
由旋转可得 ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴点 坐标为(7，4)．
故答案为：(7，4)．
【分析】先求出四边形 为矩形，再求出 ， ，最后求点的坐标即可。
17．【答案】（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE=90°，CD=CE，
又∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，
又∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知∠DCE=90°，CD=CE，根据全等三角形的判定SAS得△ACD≌△BCE.
（2）由（1）知△ACD≌△BCE，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可知AD=BE，∠CBE=∠A=45°，由等量代换得BE=BF，根据等腰三角形等边对等角和三角形的内角和定理可得∠BEF度数.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中， ，
∴△ACD≌△EDC（SAS）
（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
19．【答案】（1）证明：由旋转性质可知：，，
平分．
（2）证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再证出，即可得到 平分；
（2）根据旋转的性质可得，，再利用角的运算可得，结合 ，，求出，最后求出，即可得到。
20．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所求．
（2）如图，△A2B2C2为所求．
（3）如图，△A3B3C2为所求．
A3（2，﹣2）B3（0，﹣3）．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）找出△ABC各顶点关于y轴对称的对应点，然后顺次连接即可；
（2）找出△ABC各顶点向下平移3个单位后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质找出旋转后各顶点的对应点，然后顺次连接，点A3、B3的坐标可观察坐标系直接写出．
21．【答案】（1）解：根据题意建立坐标系如图所示：
（2）解：点经过平移后的对应点为，
平移方式为：向右平移5个单位，向下平移3个单位，
点平移后的点，点平移后的点，
作出如图所示：
（3）解：或
【知识点】平面直角坐标系的构成；用坐标表示平移
【解析】【解答】（3）解：
由C（3，0），D（3，-3）可知，CD∥y轴，CD＝3
当M在C点和D点之间时，∵DM＝2CM，则CD＝DM+CD＝3CM＝3，∴CM＝1，∴M（3，-1）；
当M在C点上方时，∵DM＝2CM，则CM＝CD＝3，∴M（3，3），
故答案为：（3，3）或（3，-1）。
【分析】（1）根据A、B、C的坐标确定坐标轴的位置，画出平面直角坐标系。
（2）根据A点坐标的变化得出平移方向和距离，从而得出其他点平移后的位置。
（3）CD∥y轴，M点有两种可能。
22．【答案】（1）0；1；1；0；6；0
（2）A n (2n，0)
（3）解：向上
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：0，1，1，0，6，0.
（2）∵在x轴上，且，
∴A n (2n，0)，
故答案为： A n (2n，0).
（3）∵，
∴100是4的倍数，
∴蚂蚁从点A 到点A 的移动方向与原点O到 A 的方向一致，
故答案为：向上.
【分析】（1）观察图形可知 A ，A ，A 三点都在x轴上，然后计算长度即可求出坐标；
（2）写出三点坐标，观察规律即可写出 A n 的坐标；
（3）因为100是4的倍数，然后即可得知蚂蚁从点A 到点A 的移动方向与原点O到 A 的方向一致
23．【答案】（1）70；40
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：旋转角为，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当在与之间时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上，旋转角的度数为或．
【知识点】角的运算；垂线；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠COA=90°，
∵，，
∴∠AOD=70°，∠COE=40°，
故答案为：70；40
【分析】（1）根据垂直结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据垂直结合题意即可得到，，，进而即可求解；
（3）先根据旋转的性质得到旋转角为，进而分类讨论：当在与之间时，当在与之间时，在结合题意即可求解。
24．【答案】（1）同位角相等，两直线平行
（2）解：过A作直线，交于G，而，
∴，
，
同理，
．
（3）解：垂直，理由如下
如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H
，而，
，即旋转角位，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠B=∠AB1C，
∴AB∥A1B1（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：同位角相等，两直线平行.
【分析】（1）根据平行线的判定定理进行解答；
（2）过A作直线AG∥a，交ED于G，则AG∥a∥b，有平行线的性质可得∠1=∠EAG，∠ABC=∠BAG，则∠1=∠EAG=∠BAE-∠BAG=∠BAE-∠ABC，据此计算；
（3）当AB∥DE时，延长B′A′交BA于点H，有平行线的性质可得∠EDA=∠DHA′=90°，则∠DHA′=∠AHA′=90°，推出AH∥A′C，易得∠ACA′=90°，据此解答.
1 / 1
