山东省济南市钢城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

2023—2024学年度上学期期末考试
初三数学试题
注意事项：
1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确。
2．本试题分第I卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共150分，考试时间为 120分钟。
3．选择题每小题选出答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题用0．5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上； 解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。
4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共 40分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．要使分式 有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x>-3 B．x<-3 C．x=-3 D．x≠-3
3．对甲、 乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9．5环，方差如下表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1．34 0．16 2．56 0．21
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形, 则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．计算 的结果是（ ）
6．一下列各选项中，因式分解正确的是（ ）
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天， 则可列方程为（ ）
8．如图,在△ABC中, AB=BC=10, BD平分∠ABC交AC于点D,点F在BC上,且BF=4,连接AF, E为AF的中点, 连接DE, 则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知在平面直角坐标系中有三个点: A（-1, 2）、B（3, 1）、C（1, -2）．在平面内确定点 D, 使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D 的坐标不可能是（ ）
A．（1,5） D．（6,-4）
10．如图,原点O为 ABCD的对称中心,AB∥x轴,与y轴交于点E（0,1）,AD与x轴交于 BE=2AE．若将△AOE绕原点O 顺时针旋转,每次旋转90°, 则第2024次旋转结束时, 点A的对应点的坐标（ ）
A．（1,-1） B．（-1,1） D．（3,0）
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）
11．分解因式:
12．已知 则分式 的值等于__________．
13．为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区10户家庭的月用水量， 结果如下：
月用水量（t） 10 13 14 17 18
户 数 2 3 2 2 Ⅰ
则这10户家庭月用水量的众数是__________； 中位数是__________．
14．若关于x的方程有 增根，则m的值为__________．
15．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=10,将△ABC沿CB方向向右平移得到．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为__________．
16．如图, ABCD中,对角线AC与BD相交于点F, AC⊥BD, 且AC=8, 若点P 是对角线BD上一动点, 连接AP, 将AP绕点 A 逆时针旋转使至 AE, 得 连接PE, 取AD的中点 O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段 OE 的最小值为__________．
三、解答题（本大题共 10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．（本题满分6分） 因式分解：
18．（本题满分6分） 解方程:
19．（本题满分6分） 先化简, 再求值: 其中x=2．
20．（本题满分8分）“五一”假期很多人都喜欢外出旅游，面对各大媒体报道出的各景区游客火爆的现象， 学校人文社团对 30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用 m 表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5 组：
A 组: 1≤m<12; B 组:12≤m<23 ; C组:23≤m<34; D 组:34≤m<45 ;E组:45≤m<56下面给出了部分信息：
a．B组的数据:12, 13, 15, 16, 17, 17, 18, 20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1） 统计图中 E 组对应扇形百分比为n%, n= __________;
（2） 请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五 ”假期出游人数的中位数是__________百万；
（4） 各组“五一”假期的平均出游人数如下表：
组别 A:1≤m<12 B:12≤m<23 C:23≤m<34 D:34≤m<45 E:45≤m<56
平均出游人数（百万） 5．5 16 32．5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
21．（本题满分8分） 已知：如图，点 O 为平行四边形 ABCD对角线AC 的中点，过点O的直线与AD, BC 分别相交于点 E, F． 求证:DE=BF．
22．（本题满分8分） 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
（1） 作出△ABC关于原点 O成中心对称的△A B C ,并写出△A B C 三个顶点坐标A （ ）, B （ ）,C （ ）;
（2）把△A B C 向上平移4个单位长度得到．画出△A B C ;
（3）△A B C 与△ABC成中心对称,请直接写出对称中心的坐标（ ）．
23．（本题满分 10分）“春节”期间，某电商想购进A、 B两种商品出售， 已知每件B种商品的进价比每件 A 种商品的进价少5元，且用400元购进 A 种商品的数量是用 100元购进B种商品数量的2倍．
（1）求每件 A 种商品和每件 B 种商品的进价分别是多少元
（2）商店决定购进A、B两种商品共80件，A种商品加价5 元出售，B种商品比进价提高20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于 200元，求A种商品至少购进多少件
24．（本题满分 10分） 阅读材料：教科书中提到 和 这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如: （1） 分解因式:
（2） 求代数式 的最小值．
∴当．时，代数式 有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
（1）若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
（2）分解因式:
（3）当x为何值时, 有最小值 最小值是多少
25、 （本题满分12分） 综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形 ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH 是平行四边形．
（1）请直接写出 S 四边形ABCD和 之间的数量关系： ．
方法2: 如图2, 取四边形ABCD四边的中点E, F, G, H, 连接EF , FG , GH, HE,
（2） 请直接写出S 四边形ABCD与 之间数量的关系： ．
（3） 求证: 四边形EFGH是平行四边形;
实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想 若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知, 在四边形池塘ABCD中, 对角线AC与BD交于点O,．则求四边形池塘 ABCD的面积．
26．（本题满分 12分）
问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1， 和 都是等腰直角三角形， 点D, E分别在边BC, AC上, 连接AD, 点M, P, N分别为DE, AD, AB的中点．试判断线段PM与PN的数量关系和位置关系．
问题探究：
（1） 甲小组发现：图1中，线段PM与PN的数量关系是 位置关系 ；
（2）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把 绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断 的形状并证明；
问题拓展：
（3） 两小组的同学继续探究：把 绕点C在平面内自由旋转，当（ 时，直接写出线段MN长度的最大值．
2023─2024学年度上学期期末考试
初三数学试题参考答案：
一、选择题（每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B C C A A D B
二、填空题（每小题4分，共24分）
11． 12． 13．13 13．5 14．6 15．3 16．2
17．（1）（3分）解：：
（2）（3分）解：
18．（6分）解：去分母得：， 2
去括号得：， 3
移项合并得：， 4
解得：， 5
经检验是增根，分式方程无解． 6
19．（6）解：原式 2
3
4
当时，原式． 6
20．（每小题2分）
补全频数直方图如下：
（1）10 2
（2）D组： （个） 3
C组： （个） 4
（3）15．5百万 6
（4） （百万）． 8分
答：这30个地区五一平均出游人数是20百万
21．（8）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴， 2
∴ 4
∵点O为对角线AC的中点，∴ 5
在， 6
∴， 7
∴，∴ 8
22．（1）解：如图，为所求作的三角形：
根据图可知， 3分
（2）解：如图，为所求作的三角形：
6分
（3）解：连接，则的交点即为对称中心，
∵，
∴对称中心的坐标为．
即对称中心的坐标为．
故答案为：． 8分
23．（10）（1）解：设每件A商品的进价为x元，则每件B商品的进价为元， 1
根据题意，得， 2
解这个方程，得， 3
经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 4
则， 5
答：每件A商品的进价为10元，每件B商品的进价为5元；
（2）解：设购进A商品a件，则购进B商品件， 6
由题意，可得， 8
解得，
答：A种商品至少购进30件． 10
24．【答案】（1）或 2分
（2）； 6分
（3）∵
∴当时，有最小值． 10分
25．（10分）【答案】（1）； 1分
分析：（1）：如图，
∵，
∴四边形AEBO，四边形BFCO，四边形CGDO，四边形DHAO都是平行四边形
∴，
∴
故答案为
（2）：如图，连接BD．
（2） 2分
∵E，H分别为AB，AD中点
∴．．
∴，
∴
故答案为
（3）证明：∵E，H分别为AB，AD中点
∴．，
∵F，G分别为BC，CD中点
∴．
∴
∴四边形EFGH为平行四边形 5分
应用：（4）能，如图所示，连接对角线AC，BD交于点O，
过点D作AC的平行线，过点B作AC的平行线
过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线
四边形EHGF即为所求
7分
应用（2）过H作于点M，
∵，∴，
∵，∴，
∴ （或写为）
∴ （或写为）
∴，（或写为）
故答案为．（或写为） 10分
26．（1） 2分
（2）证明：连接BD，由旋转知，
∵，∴
∴
∵点P，M，N分别是AD，ED，AB的中点，
∴PN，PM分别是，的中位线
∴
∴
∴是等腰三角形
又∵，
∴，
∵，
∴
∵，∴，
∴，
∴是等腰直角三角形： 7分
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴点D在BC的延长线上时，PM有最大值，
∴，∵，
∵（或）． 12分