17.1 勾股定理（第1课时）教学课件--人教版初中数学八下

(共24张PPT)
第 十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
17.1　勾股定理
第一课时　勾股定理
学 习 目 标
1
2
能说出勾股定理的内容，会用面积法来证明勾股定理. （重点）
会用勾股定理进行简单的计算. (难点）
新课导入
问题： 国际数学大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24界国际数学家大会.下图就是大会会徽的图案.你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的含义？
问题引入
知识讲解
★ 勾股定理的认识及验证
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
问题1： 正方形A、B、C的面积有什么关系？
小正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积，即
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 ： 图中由正方形A、B、C的边长构成的等腰直角三角形三边之间有怎样的特殊关系？
等腰三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
即
问题3：　在网格中的一般的直角三角形，如下图，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中小正方A,B的面积都容易求，那么该怎样求正方形C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
思考: 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
SA+SB=SC
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
a
b
c
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2，
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
证明：
b-a
证法2 ： 毕达哥拉斯证法，将四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明.
a
b
a
a
a
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形= 4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
证明：
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3： 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
★ 利用勾股定理进行计算
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C
A
B
例2 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.
例3 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
解：由勾股定理可得，
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
方法总结： 由直角三角形的面积公式可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积.
随堂训练
1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A.12 B.7＋ C.12或7+ D.以上都不对
C
2.三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为( )
A.9 B.10 C.2 或9 D.2 或10
D
4.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
（3）若BC=11，AB=61，则AC=_______．
17
5
60
3.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
解：在△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 .
∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2 .
∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.
5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16 .
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
6. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ ABC内的情形，忽视高AD在△ ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论