17.1 勾股定理（第2课时）教学课件--人教版初中数学八下

(共21张PPT)
第 十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
17.1　勾股定理
第二课时　勾股定理在实际问题中的应用
学 习 目 标
1
2
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. （重点）
能从实际问题中抽象出勾股定理的数学模型，并能利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，进一步求出未知边长. (难点）
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知识回顾
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
知识讲解
★ 勾股定理的简单实际应用
问题1： 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
分析：可以看出木板无论横着，还是竖着都不能通过，所以只能考虑斜着.观察可以发现 AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以只要AC的长大于木板的宽就能通过.
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AC2=AB2+BC2=12+22=5，
因为AC的长大于木板的宽2.2m,
所以木板能从门框内通过.
2m
1m
A
B
D
C
温馨提示：此题是已知两直角边利用勾股定理求斜边.
问题2：如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
A
B
D
C
O
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
温馨提示：此题是已知斜边和一直角边利用勾股定理求另一直角边.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
例1 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
A
B
C
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
答：小鸟至少飞行10米.
★ 利用勾股定理求两点间距离
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x，y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
★ 利用勾股定理求最短距离
C
B
A
问题： 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB >AB（两点之间线段最短）
思考： 在立体图形中，应该怎么寻找最短线路呢？
B
A
O
B
A
d
A
B
A'
A
B
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁从A爬到B的路线
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？
B
A
根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
例3 如图，长方体的长为10cm，宽为6cm，高为8cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面由A爬到B需要爬行的最短路程是多少？
B
A
6cm
8cm
10cm
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360，
解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .
随堂训练
C
D
1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )
A.5m B.7m C.8m D.10m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
10
5
3．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．
4.已知点(3,4),(-5,-4)，则这两点的距离为_______.
5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
东
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
课堂小结
勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理求两点间的距离
利用勾股定理求最短距离