17.2 勾股定理的逆定理（第1课时）教学课件--人教版初中数学八下

(共25张PPT)
第 十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理
17.2　勾股定理的逆定理
第一课时　勾股定理的逆定理
学 习 目 标
1
2
能掌握勾股定理的逆定理的，并了解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. （重点）
能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点）
新课导入
复习引入
B
C
A
问题1：勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 ：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
知识讲解
★ 勾股定理的逆定理
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.你认为这个结论正确吗
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
都是直角三角形
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c.
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题：这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
a2+b2=c2
猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
归纳总结
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
（1）找：确定三角形的最长边；
（2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
（3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
（4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
方法技巧：
例2 　判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形.
（1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°；
（2）在△ABC 中，AC＝7，AB＝24，BC＝25 ；
（3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝ c2.
解：（1）在△ABC 中，∵ ∠A+ ∠B＝20°+70°＝90°，
即△ABC是直角三角形.
（2）∵ ，，
∴ .
根据勾股定理的逆定理可知△ ABC 是直角三角形.
（3）∵（a+b)(a-b）＝， ∴ - ＝ ，即 ＝ + .
根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.
判定三角形为直角三角形的方法
（1）用角判断：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形；
②有一个角是90°的三角形是直角三角形；
（2）用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断.
方法技巧：
★ 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例3 下列几组数为勾股数的是（　　）
A.4，5，6 　　 B.12，16，20 　　
C.-10，24，26 　 　D.2.4，4.5，5.1
解析：
B
★ 互逆命题与互逆定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：
直角三角形
a2+b2=c2
命题2：
直角三角形
a2+b2=c2
题设
结论
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
问题1：两个命题的条件和结论分别是什么？
问题2：两个命题的条件和结论有何联系？
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
归纳总结
例4 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等；
(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方相等；
(3) 对顶角相等；
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
内错角相等，两条直线平行.
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值相等.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
在角平分线上的点到角的两边距离相等.
成立
成立
不成立
成立
随堂训练
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A
B.
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
C
3.下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b, a2 =b2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
4．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为 ．
13
直角三角形
5.已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为大
于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
6.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD= , 求四边形ABCD 的面积.
∴ △ ABC是直角三角形且∠B是直角.
∴ △ ADC是直角三角形且∠ D是直角，
∴S 四边形 ABCD=
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
作用：从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形
勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.