19.2.3 一次函数与方程、不等式教学课件--人教版初中数学八下

(共27张PPT)
第十九章 一次函数
19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
学 习 目 标
1
2
认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、
一元一次不等式之间的联系．（重点、难点）
会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）
的意义.
新课导入
思考：
问题①：解方程2x+20=0；
问题②：当 x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标；
问题④：问题① ②有何关系？ ① ③呢？
问题⑤ : 能从函数的角度来解一元一次方程 2x+20=0吗？
知识讲解
一次函数与一元一次方程
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题1 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
从函数的角度看：
解一元一次方程
ax +b =k 就是求当函
数（y=ax +b）值为k
时对应的自变量的值．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
探究一
练一练
2、如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　)
A．x＝2 B．x＝0
C．x＝－1 D．x＝－3
D
1、解方程2x+3=5就是求当y= 时，函数y=2x+3的自变量x的取值.
(0，2)
5
(－3，0)
求一元一次方程
kx+b=0的解
一次函数与一元一次方程的关系
求y=0时一次函数
y= kx+b中x的值
从函数
值看
求一元一次方程
kx+b=0的解
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标
从函数
图象看
探究二
一次函数与一元一次不等式
问题2 观察下面这几个不等式:
你能类比一次函数和一元一次方程的关系，试着从函数的角度解一元一次不等式吗？
（1）； （2）； （3）.
　　不等式3x+2＞2的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y＞2
时对应的自变量x的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
从函数的角度进行解释：
所以此不等式的解集为x ＞ 0
（1）
（2）3x+2＜0；
　　不等式3x+2＜0的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y ＜0
时对应的自变量x的取值范围.
所以此不等式的解集为x <-
从函数的角度进行解释：
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
　　不等式3x+2＜-1的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y＜-1
时对应的自变量x的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
所以此不等式的解集为x＜-1
（3）3x+2＜-1.
从函数的角度进行解释：
　　　能把你得到的结论推广到一般情形吗？
　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
从函数的角度看：
例1 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
解：（1）由图象可知，不等式
-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从函数
值看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
直线y=kx+b在x
轴上方(或下方)
的x取值范围
从函数
图象看
一次函数与一元一次不等式的关系
探究三
一次函数与二元一次方程组
例2 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y(m)
关于上升时间 x(min)的函数关系；
1号气球：y =x+5；
2号气球：y =0.5x+15．
思考1：一次函数与二元一次方程从数的角度看有什么关系？
一次函数
y =0.5x+15
二元一次方程
y -0.5x =15
从方程角度看
从函数角度看
由函数图象的定义可知：
直线上每个点的坐标（x , y）都是这个二元一次方程的解.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
　　二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象的交点坐标．
　　思考3：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5，
y =0.5x+15
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，
这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解方程组
y =x+5，
y =0.5x+15，
∴当上升20 min 时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
y =x+5
y =0.5x+15
O
y
观察图象，两条直线的交点坐标是（20,25）.
∴当上升20 min 时，两个气球都位于海拔25 m的高度.
从形的角度看：
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
总结
随堂训练
1、一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(　　)
A．x≥2 B．x≤2
C．x≥4 D．x≤4
B
2、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在
同一直角坐标系内作出了相应的两条直线l1、l2
如图 ，他解的这个方程组是( )
D
点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合．
3、如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式－2＜kx＋b＜1的 解集__________ ．
－1＜x＜2
2
1
－2
－1
4、当x 时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方.
x
o
y
2
2
5、直线=-x+m和=2x+n的交点如图，则不等式-x+m<2x+n的解集是 .
x
o
y
2
1
>2
x<1
y1=-x+m
y2=2x+n
课堂小结
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标