9.1.2三角形的内角和与外角和 教学课件--华师大版初中数学七年级（下）

(共27张PPT)
第 9章 多边形
9.1 三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
学 习 目 标
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°;
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数; （重点、 难点）
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点）
新课导入
我是直角三角形，我的内角和最大
我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的
我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的
一天，三角形界就三角形内角和的大小展开了一场激烈的争论，请同学们为它们评判一下吧.
知识讲解
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
小学时，我们就已经知道，任意三角形的内角和等于180°，我们是通过度量或简拼得到这一结论的. 你可以用推理的方法证明这一结论吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
验证结论：
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
总结归纳
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
★思路总结
为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
★作辅助线
★ 直角三角形的性质
探究：如图，在RT△中， ∠C=90° 那么两锐角的度数之和为多少
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90° 由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°
即∠A +∠B=90°.
思考：由此，可以得到直角三角形的什么性质？
A
B
C
A
B
C
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：
直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC．
例2 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
★ 三角形的外角的性质
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠ACD
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
因为∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是∠ACD =∠A +∠B.
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
拓 展
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小.
如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图1
A
B
C
1
2
图2
A
B
C
1
2
E
3
D
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
★ 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
∠ACD +∠3=180 ° .③
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
例4 如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°．求：
（1）∠B的度数． （2）∠C的度数．
解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又∵∠ADC=80°，∠B=∠BAD，
∴∠B=∠ADC= ×80°= 40°；
（2）在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°－∠B－∠BAC=180°－40°－70°=70°．
随堂训练
1.若一个三角形三个内角的比为3：4：11，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
D
2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
A
A.26° B.63° C.37° D.60°
F
A
B
E
C
D
4.如图，在△中，∠,点延长线上一点，∠，则∠= .
70°
A
B
C
D
5.已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
解：在△DFB中，
∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，
∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，
∴∠B＝40°.
在△ABC中，
∵∠A＝46°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.
课堂小结
三角形的内角
三角形的内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的两锐角互余
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
2.三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形的外角和
三角形的外角和等于360°