1.1 等腰三角形（第3课时） 教学课件 --北师大版初中数学八年级（下）

(共20张PPT)
第 一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1.学会证明等角对等边进行等腰三角形的判定;(重点) 2.体会反证法的含义并会用反证法进行证明.（难点）
学习目标
等腰三角形有哪些性质？
1.等腰三角形的两底角相等．
（简写成 “等边对等角”）
A
B
C
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
知识回顾
2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（ 简写成“三线合一” ）
A
B
C
D
∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 比如作BC的中线，或作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
A
B
C
合作探究
定理：有两个角相等的三角形是等
腰三角形.(等角对等边)
等腰三角形的判定定理：
归纳总结
例2.已知：如图，AB=DC,BD=CA,
求证：△AED是等腰三角形。
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）
∴AE=DE(等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形。
例题讲解
如图，在某次海上巡逻中，一艘巡逻舰在A处测得海岛B在北偏东49°方向上，上午8点该巡逻舰从A处出发，以30海里/ 时的速度向正东航行，上午9点30分到达C处，此时测得海岛B在北偏东8°，求此时巡逻舰与海岛B的距离。
解：∵∠BAC=90°-∠MAB=41°,
∠BCN=90°-∠PCB=82°,
∵∠B=∠BCN-∠BAC=41°,
∴∠B=∠BAC,∴BC=AC=30×1.5=45(海里)
答：此时巡逻舰与海岛B的距离为45海里.
跟踪训练
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC.
A
B
C
知识讲解
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC。
你能理解他的推理过程吗
A
B
C
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
这个推理过程怎样写呢？
例3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B是直角，
即∠A=90°，∠B=90 °，
于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。
这与三角形内角和定理矛盾，
因此，“∠A和∠B是直角”的假设不成立。
所以，一个三角形中不能有两个角是直角。
例题讲解
1.假设: 先假设命题的结论不成立；
2.归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,
得出与定义，公理、已证定理或已知
条件相矛盾的结果；
3.结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,
从而肯定命题的结论正确。
用反证法证题的一般步骤：
归纳总结
1.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数
108°
36°
90°
随堂训练
2.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO
②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)
(2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
B
A
E
D
C
O
①③; ①④;
②③; ②④
3.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,
且都大于60°,
则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,
∴ ∠A+∠B+∠C>180°;
这与三角形的内角和是180定理矛盾
∴假设不成立
∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
关于相等与不等关系（>、=、<），我们有如下的否定形式：
大于反义：小于或等于
都大于 反义：至少有一个不大于
小于 反义：大于或等于
都小于 反义：至少有一个不小于
1.等腰三角形的判定：
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（判定定理）.
2.反证法.
课堂小结