1.3 线段的垂直平分线（第1课时） 教学课件 --北师大版初中数学八年级（下）

(共17张PPT)
第 一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理证明的能力、规范证明的书写格式。（难点）
学习目标
1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=_____.
2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为_______.
7
30°
新课导入
知识回顾
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
A
B
C
情景导入
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗
知识讲解
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点. 求证：PA=PB．
A
C
B
P
M
N
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．
P
A
B
∟
温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
文字语言：
符号语言：
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图形中哪些线段相等？为什么？
PA=PB
AC=BC
你能写出这个定理的逆命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
证明：（方法一）过点P作已知线段AB的垂线PC，
∵PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
B
P
A
C
性质定理的逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
A
C
B
P
.
（方法二）把线段AB的中点记为C,连接PC.
∵C为AB的中点，
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SSS)，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴PC⊥AB， 即P在AB的垂直平分线上.
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
A
B
P
温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一．
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60 °，那么∠EDC= °．
E
D
A
B
C
7
60
随堂训练
2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
B
A
E
D
C
解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE.
∵△BCE的周长等于50，
∴BE+EC+BC=50，即AE+EC+BC=50，
∴AC+BC=50.
∵AC=27，∴BC=23.
比一比：你的写作过程完整吗？
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
P
B
D
C
A
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点 ，
∴PB=PC.
1.线段垂直平分线的定理及证明
2.线段垂直平分线的逆定理及证明
3.两个定理之间的区别与联系
课堂小结