1.4 角平分线（第2课时） 教学课件 --北师大版初中数学八年级（下）

(共25张PPT)
第 一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1.4角平分线（第2课时）
1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）
学习目标
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
情景导入
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
知识讲解
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
怎样证明这个结论呢
合作探究
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,
DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
12
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
1、 已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____
5
A
O
E
B
P
C
跟踪训练
2、 已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分
∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=________
25°
3、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A，∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线
的交点
C.P为AC，AB两边上的高的交点
D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上，
∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.
∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.
当堂检测
2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=
∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= .
C
A
B
E
D
角平分线
6cm
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
D.△ABC 三条高所在直线的交点
C
　4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
　求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
　　 CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
C
F
A
E
D
B
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
解：有4处，如图所示.
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.
课堂小结