4.3 公式法（第2课时） 教学课件 --北师大版初中数学八年级（下）

(共19张PPT)
第四章 因式分解
第四章 因式分解
4.3 公式法（第2课时）
学习目标
1.理解用完全平方公式进行因式分解，并能熟练地运用完全平方公式分解因式.（重点）
2.能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
知识回顾
提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
把下列各式分解因式:
① ② x4-16
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2).
因式分解学过了哪些方法？
有公因式，先提公因式
因式分解要彻底
(a+b)2 = ，
a2+2ab+b2
(a-b)2 = .
a2-2ab+b2
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
知识讲解
将完全平方公式倒过来看，得到：
因式分解的完全平方公式
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察发现：
1.是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间是这两个数的积的±2倍.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.
下列各式是不是完全平方式？
（1）; （2）;
（3）; （4）;
（5）; （6）.
是
（2）不是，因为4不是与2乘积的2倍.
是
（4）不是，不是与乘积的2倍.
（5）不是，与－9的符号不统一.
是
练一练：
例3
把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(1)x2＋14x＋49
＝ x2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ [(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
解：
计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
(2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
(1)原式＝2022＋2×202×98＋982
＝(202＋98)2
＝3002＝90 000.
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2
＝(a2－2－a2)2
＝(－2)2＝4.
解：
练一练：
例4
把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝ 3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝ －(x－2y)2.
解：
　
将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
练一练：
1.具有完全平方形式的多项式才可运用完全平方公式分解因式.
2.公式 中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
结论：
当堂训练
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
B
B
4.已知 2, 求 的值.
3.已知 是一个完全平式，则=
±12
解: 由得
+ab
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2-12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1-x2.
(2)原式=[2(2a+b)] - 2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b- 1)2.
解：(1)原式 =x2-2·x·6+62
=(x-6)2.
(3)原式=(y+1) -x
=(y+1+x)(y+1-x).
6.已知,求 的值.
解：由
得
∴.
∴ =(-2)-1=
7. 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2 ＋ 2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状， 并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
课堂小结
1.利用完全平方公式分解因式:
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
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