22.6正方形 教学课件--冀教版数学八年级（下）

(共24张PPT)
第二十二章 四边形
第二十二章 四边形
22.6 正方形
学习目标
1.理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系．
2.掌握正方形的有关性质和判定方法． 能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．（重点）
3.通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展合情推理能力，提高逻辑思维能力．（难点）
定义 边 角 对 角 线 对 称 性
平行 四边形
矩 形
菱 形
几种特殊四边形的定义及性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，
四边都
相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，邻角互补
对角线
互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角
中心对
称图形
轴对称
图形、
中心对
称图形
轴对称
图形、中
心对称图形
两组对边
分别平行
的四边形
有一个角
是直角的
平行四边
形
有一组邻
边相等的
平行四边
形
新课导入
想一想
问题思考
观察图片,回答下列问题:
上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形,除菱形、矩形外,还有一种特殊的平行四边形,观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么共同特征吗 与同伴交流.
知识讲解
正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
1.正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它有几条对称轴？都是哪些直线？
2.结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系
两组对边分别平行
有一个角为直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
它是中心对称图形，一般不是轴对称图形
它们是中心对称图形，也是轴对称图形
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
对角线互相垂直且平分
？
？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形有怎样的关系
你能表示出来吗
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
3.根据三者的关系，正方形具有哪些性质呢？
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
正 方 形 性 质 边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言 符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行
四条边都
相等
四个角都
是直角
对角线互相垂直平分且相等
每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
正方形图形的分析：
从图中可看出，⑴在正方形中产生了哪些特殊图形？
⑵产生了哪些特殊角？
D
O
A
B
C
45°
45°
45°
45°
45°
45°
45°
45°
4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形
90°和45°
例1 已知如图，在正方形ABCD中，点E在对角
线AC上.求证BE=DE.
证明:在△AED和△AEB中,
∵AD=AB,AE=AE,
∠DAC=∠BAC=45°,
∴△AED≌△AEB,
∴BE=DE.
你还有其他证法吗？
例题讲解
例2 已知如图，在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形.
求证：∠ECD= ∠EDC=15°.
证明： ∵ ∠EBA= ∠EAB= ∠AEB =60°
∴ △ADE, △BCE是等腰三角形，
∠DAE= ∠CBE=30° ,
∴ ∠ADE= ∠AED= ∠EBC =∠ECB= 75°,
∴ ∠EDC= ∠ECD=90 °-75 °=15 °.
具备什么条件的四边形是正方形？
2、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等。
3、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角。
1、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。
只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可
菱形的判定方法
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
定义法
菱形法
矩形法
做一做
已知:如图所示,点E,F,M,N分别在正方形ABCD的四条边上,且AE=BF=CM=DN.求证四边形EFMN是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是正方形且AE=BF=CM=DN
∴AN=BE=CF=DM,
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=EF=FM=MN,∠AEN=∠DNM
∴四边形EFMN是菱形
∵∠AEN+∠ANE=90°
∴∠DNM+∠ANE=90°
即∠ENM=90°∴四边形EFMN是正方形
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
随堂训练
3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
4. 已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，如图正方形的面积S=-------------
证明:∵四边形ABCD是正方形
5．如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
∴AD＝CD AD⊥CD
又∵CE⊥AF
∴∠1＋∠CFE＝∠2＋∠AFD＝90°
∴∠1＝∠2
在△ADF和△CDM中
∠1＝∠2
CD＝AD
∠ADF＝∠MDC
∴△ADF≌△CDM (ASA)
∴DF＝DM
∴△MDF是等腰直角三角形
∴∠MFD＝45°

正方形
性质：具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质
课堂小结
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
判定：判定这个四边形既是矩形又是菱形即可
1.判断下列说法是否正确
(1)有一个角为直角的菱形是正方形; (　　)
(2)四个角都相等的四边形是正方形. (　　)
(3)四条边都相等的四边形是正方形; (　　)
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形; (　　)
(5)对角线垂直且相等的四边形是正方形; (　　)
(6)对角线相等的菱形是正方形; (　　)
(7)对角线互相垂直的矩形是正方形; (　　)
(8)对角线互相垂直平分的四边形是正方形. (　　)
√




√
√
√
当堂检测
2.如图所示,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是 (　　)
　　A.3 B.4 C.5 D.6
B
3.如图所示,有一个平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠ECD=35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为 (　　)
A.50 B.55 C.70 D.75
C
4.已知:如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为CD,CB延长线上的点,且DE=BF.求证∠AFE=∠AEF.
证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD.
∵DE=BF，∠FBA=∠ADE=90°
∴△ABF ≌△ADE，
∴AF=AE
∴∠AFE=∠AEF．