22.7多边形的内角和与外角和 教学课件--冀教版数学八年级（下）

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第二十二章 四边形
第二十二章 四边形
22.7多边形的内角和与外角和
学 习 目 标
1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念．
2.探索求多边形的内角和，外角和的方法．（重点）
3.会应用多边形内角和与外角和公式解决问题．（难点）
自然的馈赠
新课导入
设 计
灵感之源
嘉琪想画一个内角和为2008°的多边形，她能实现吗？
观察这些图形，有什么相同点
多边形定义：
平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形
！一个多边形如果总在它的任何一条边的所在直线的同一侧，这个多边形就叫做凸多边形，我们只研究凸多边形
多边形有几条边就叫做几边形，三边形就是我们通常所说的三角形
知识讲解
多边形的边、顶点、对角线、内角、外角的含义
边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边,
顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
对角线:连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
内角:多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角
对角线
下面我们探究多边形的内角和与外角和
1、我们知道三角形的内角和为180°，你能猜想四边形、五边形和六边形的内角和各是多少吗？
2、以五边形和六边形为例，如何将求五边形和六边形内角和的问题转化，利用三角形内角和定理求多边形的内角和？
一起探究
多边形 边数 从一个顶点出发对角线条数 图形 分成三角形的个数 内角和
计算规律
四边形
五边形
六边形
七边形
n边形
…
…
…
…
…
…
4
5
6
7
n
n-3
1
2
3
4
2
3
4
5
n-2
(n－2) ·180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
请根据以上探究过程填写下面表格的第二、三、四、五行；你填写的数字与多边形的边数相关吗？
能从中找到规律并完成第七行的探究吗？
我们发现，n边形的内角和等于（n-2)×180°
现在我们来证明这个结论
A1
A2
A3
A4
A5
An-1
An
已知：如图，n边形A1A2A3A4...An-1An.
求证：n边形A1A2A3A4...An-1An的内角和为（n-2)×180°.
证明：连接A1Ai(i=3,4,...,n-1),得到△A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1,n),共有（n-2)个三角形。
∵△A1Ai-1Ai(i=3,4,...,n-1,n)的内角和为180°
∴n边形A1A2A3A4...An-1An的内角和=△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+...+△A1An-1An的内角和=（n-2)×180°
多边形内角和定理
n边形内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
-(n-2) × 180°
=360 °
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
E
B
C
D
1
2
3
4
n
A
多边形的外角和
做一做 利用n边形的内角和定理，求n边形的外角和
n边形外角和
多边形的外角和定理
多边形外角和等于360
例1.已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形
解:设多边形的边数是n,那么它的内角和等于(n-2)×180°,
外角和等于360°,
由题意,得(n-2)×180°=360°.
解这个方程,得n=4.
所以,这个多边形是四边形.
例题讲解
例2：如图，小亮从点O处出发，前进5m后向右转20°，在前进5m后又向右转20°，这样走n次恰好回到点O处。
（1）小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？内角和是多少度？
（2）小亮走出的这个n边形的周长是多少？
解:(1)设这个n边形的每个内角为
180°-20°=160°.
因为多边形外角和等于360°,
所以n×20°=360°.
解得n=18.
所以这个n边形的内角和=(18-2)×180°=2880°.
(2)5×18=90(m),
所以,小亮走出的这个n边形的周长为90 m.
1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（ ）边形
A.7 B.6 C.5 D.4
2.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是（ ）边形
A.5 B.4 C.3 D.不确定
3.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________，每个内角的度数为________.
随堂训练
B
C
36°
144°
4、在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°,那么∠B的度数是多少？
解：因为四边形ABCD的内角和为（4-2）×180°=360°
所以∠B=360°-280°=80°
1、十二边形的内角和是____________
2、正六边形的一个内角等于____________
3、一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加____________
4、一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是________边形。
5、一个多边形的内角和是720 ，则此多边形共有____________个内角。
6、一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍,则这个多边形为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形
当堂检测
1800°
120°
180°
四
六
D
7.一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2：7，求n 的值.
解：由题意得360°：（n-2)×180°=2:7
解得 n=9
多边形
内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）
课堂小结
定义：平面上，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形。
外角和定理：多边形外角和等于360 。