第二十二章 四边形 教学详案--冀教版数学八年级（下）

第二十二章　四边形
22.1　平行四边形的性质
第1课时
教学目标 1.理解平行四边形的定义及有关概念； 2.通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性，并体会平移、中心对称等图形变化在研究平行四边形及其性质中的运用； 3.探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质. 教学重难点 重点：平行四边形的对边相等、对角相等 难点：平行四边形及其性质的运用 教学过程 旧知回顾 1.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补. 2.回忆三角形全等的判定方法 SAS AAS ASA SSS HL 导入新课 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，更重要的是我们应该怎么知道什么.——毕达哥拉斯（师生共勉） 在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法. 上面图片中的四边形可以归类为以下四种： 观察图形，以上图形边的位置有什么特征？ 两组对边分别平行 探究新知 一、平行四边形的定义及其他相关概念 1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.表示方法：平行四边形用符号“”表示. 如图，平行四边形ABCD记作“ABCD”， 读作“平行四边形 ABCD”． 3.几何语言： （1）AB∥CD，AD∥BC →四边形ABCD是平行四边形；　 （2）四边形ABCD是平行四边形 → AB∥CD，AD∥BC. 4.平行四边形的有关概念： （1）平行四边形中相对的边称为对边，相对的角称为对角. （2）平行四边形中相邻的边称为邻边，相邻的角称为邻角. （3）平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线，两条对角线的交点叫做平行四边形的中心. 二、平行四边形的性质 （一）动手操作 请同学们在纸上根据定义画一个平行四边形，连接AC和BD，观察你画的平行四边形，除对边互相平行之外你有什么发现？ （二）一起探究 （1）如图，在半透明的纸上画一个ABCD，再复制一个，将两个图形完全重合，用大头针钉在中心处，使下面的图形不动，将上面的图形绕中心O旋转180°，这两个图形能完全重合吗 平行四边形是不是中心对称图形 如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心 被对角线分成的三角形中，关于点O成中心对称的图形有几对 多媒体演示旋转过程，学生仔细观察. 由演示可得平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点. 被对角线分成的三角形中，关于点O成中心对称的三角形有几对？有四对：△AOB和△COD，△AOD和△COB；△ABD和△CDB；△ADC和△CBA. （2）在上面的活动中，你发现了ABCD的对边AD与CB，AB与CD之间有怎样的数量关系？对角∠BAD与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD之间有怎样的数量关系？ （3）把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流. （三）猜想并证明 猜想结论： 1.平行四边形的对边相等，对角相等； 2.平行四边形的对角线互相平分.（根据教材要求，下一节课证明） 我们来证明平行四边形的对边相等，对角相等. 学生根据命题画出图形，写出已知和求证并进行证明. （学生动手操作并小组讨论，然后不同的小组上台展示自己小组的做法，其余学生补充.有关对角线的证明是下一节课的内容，留待下一节课证明.） 已知：如图所示，四边形ABCD是平行四边形. 求证：（1）AD＝CB，AB＝CD.（2）∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA. 学生在独立思考的基础上小组讨论，探求证明思路．回忆证明线段相等的方法，添加对角线（AC或BD）构造两个三角形后，说明自己证题的思路．然后，找两个学生去黑板写出证明过程，其余学生点评补充. 证明：如图所示，连接BD，在△ABD和△CDB中， ∵AD∥CB，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD. 又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB. ∴AD＝CB，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB. ∵∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD+∠CBD＝∠CDB+∠ADB， 即∠ABC＝∠CDA. 总结： 定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形表示方法平行四边形ABCD记作：ABCD对称性中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点性质边两组对边分别平行两组对边分别相等角两组对角分别相等邻角互补
（四）例题讲课 例1　如图，在ABCD中，已知∠B+∠D＝260°，求∠A，∠C的度数. 解：在ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠B＋∠D＝260°，∴∠B＝∠D＝130°. ∵AD∥BC， ∴∠C＝180°－∠D＝180°－130°＝50°. ∴∠A＝∠C＝50°. （五）随堂练习 1.火眼金睛（对的在括号内填“∨”，错的填“×”） （1）平行四边形两组对边分别平行.（ ） （2）平行四边形的四个内角都相等.（ ） （3）平行四边形的相邻两个内角的和等于180°.（ ） （4）如果平行四边形相邻两边长分别是2 cm和3 cm，那么周长是10 cm. （ ） （5）在平行四边形ABCD中，如果∠A＝35°，那么∠B＝55°.（ ） （6）在平行四边形ABCD中，如果∠A＝35°，那么∠B＝145°.（ ） 2.已知：如图所示，ABCD的周长为22 cm，△ABD的周长为18 cm，求对角线BD的长. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD＝BC，AB＝DC. 由已知条件，得2（AB+AD）＝22 cm， ∴ AB+AD＝11 cm. 又∵AB+AD+BD＝18 cm， ∴BD＝18-11＝7（cm）. 　　　 3.如图所示，在ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F. 求证：BC＝CF. 证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠ADE＝∠FCE. ∵ E是CD的中点， ∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴ △ADE≌△FCE， ∴ AD＝CF. ∴ BC＝CF.　　 课堂练习 1.如图1，在ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于（　　） A.1 　　　　 　 B.2 　　　　 C.3 　　　 D.4 2.如图2，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则ABCD的周长为（　　） A.6　　　　　　　B.12　　　　　　　C.18　　　　　　　 D.24 3.如图3，在ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数是（　　） A.80°　　　　　　B.50°　　　　　　　C.40°　　　　　　　D.30° 　　　　　 图1 　　 图2 图3 　 图4 4.在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A（a，b），B（4，-2），C（-a，-b），则关于点D的说法正确的是（　　） 甲：点D在第一象限． 乙：点D与点A关于原点对称． 丙：点D的坐标是（-4，2）． 丁：点D与原点距离是. A.甲、乙 　 B.丙、丁 　 　 C.甲、丁 　　 D.乙、丙 5.已知：如图4，在ABCD 中，E，F分别是BC，AD上的点，且BE＝DF.求证：AE＝CF. 参考答案 1.C 2.B 3.D 4.B 5.证明：在ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D. 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF， 所以AE＝CF. 课堂小结 1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.性质：（1）中心对称图形，对称中心为对角线的交点； （2）边：对边平行，对边相等； （3）角：对角相等，邻角互补. 布置作业 完成教材第119页习题A组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.1　平行四边形的性质 第1课时 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
数学 冀教版版 八年级上 教案
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第二十二章　四边形
22.1　平行四边形的性质
第2课时
教学目标 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算和证明题. 教学重难点 重点：平行四边形对角线互相平分. 难点：综合运用平行四边形的性质解决有关计算和证明题. 教学过程 旧知回顾 1.平行四边形的性质 （1）对边平行且相等；（2）对角相等，邻角互补. 2.回忆三角形全等的判定方法 SAS AAS ASA SSS HL 导入新课 小明用几根小棒搭成一个有两条对角线的平行四边形，他先找到一根长6 cm与一根长8 cm的小棒作为平行四边形的两条对角线，然后他又找到了长分别为5 cm，8 cm，12 cm的三种小木棒，其中有几种小棒可以用来作为平行四边形的边 为什么 你自己动手搭一搭，如果一根小棒可以用来作为这个平行四边形的一边，那么它的长度应该在什么范围内 相信学习了这节课后，我们很容易就能解决这个问题. 探究新知 一、平行四边形的性质定理 （一）证明 上一节我们已经发现：平行四边形的对角线互相平分，现在我们来证明这个结论. 已知：如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 求证OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD.∴ ∠BAO＝∠DCO. 又∵ ∠AOB＝∠COD，∴ △AOB≌△COD. ∴ OA＝OC，OB＝OD. 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 这样我们就能解决导入新课中的问题了. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8，则AB的取值范围是_________. 学生独立完成：∵ AC＝6，BD＝8，∴ OA＝3，OB＝4， ∴ 1数学 河北教育版 八年级下 教案，由《中学教材全解》友情提供。祝您工作顺利！
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第二十二章　四边形
22.2　平行四边形的判定
第1课时
教学目标 1.理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2.掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证. 教学重难点 重点：理解一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证. 教学过程 旧知回顾 1.平行四边形定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.请你简述平行四边形的性质. 导入新课 思考：怎样判定一个四边形是平行四边形？ 思考方向：从平行四边形的边、角、对角线. 今天我们先从边和角的角度来探讨一下. 探究新知 平行四边形的判定 （一）判定方法1：定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形→两组对边分别平行（性质） 平行四边形←两组对边分别平行（判定） 平行四边形的判定方法1 符号语言： ∵AB∥CD且AD∥BC（已知）， ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）. （二）判定方法2：平行四边形的判定定理 1.一起探究 小明用下列方法得到一个四边形ABCD. 画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB＝CD，连接AD，BC，得四边形ABCD. 问题：（1）将线段AB沿BC方向平行移动，线段AB与CD能不能重合？你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形？ （2）由此，你发现了什么结果？与大家交流. 学生自学：独立思考提出猜想，努力给出证明过程. 教师指点：（利用平行四边形的定义） 猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：AB∥CD， AB＝CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABD＝∠CDB. ∵ AB＝CD，BD＝DB， ∴ △ABD≌△CDB. ∴ ∠ADB＝∠CBD，∴ AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形 . 总结：平行四边形的判定定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ AD∥BC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 教师强调：是同一组对边平行且相等. 思考：一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 如图，一组对边AB∥CD，另一组对边AC与BD相等，但是四边形ABCD不是平行四边形，是等腰梯形！ 2.例题讲解 例1　已知：如图所示，在ABCD中，E为BA延长线上一点，F为DC延长线上一点，且AE＝CF，连接BF，DE. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 教师指点，学生分析：利用一组对边平行且相等（BE∥CF且BE＝CF）. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD. 又∵ AE＝CF， ∴ BE＝BA+AE＝DC+CF＝DF，且BE∥DF， ∴ 四边形BFDE是平行四边形. 例2　求证：平行线间的距离处处相等. 已知：如图，EF∥MN，A，B为直线EF上任意两点，AD⊥MN，垂足为D，BC⊥MN，垂足为C. 求证：AD＝BC. 教师指点，学生分析：可证明四边形ABCD为平行四边形. 证明：∵ AD⊥MN，BC⊥MN， ∴ AD∥BC. 又∵ EF∥MN， ∴ 四边形ADCB是平行四边形. ∴ AD＝BC. 此题的几何语言： ∵ EF∥MN，AD⊥MN，BC⊥MN， ∴ AD＝BC. （三）判定方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 思考：两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 学生自主完成解答过程. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵ ∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴ ∠A+∠B＝180°， ∴ AD∥BC. 同理，AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 归纳总结 一、平行四边形的判定方法 1.两组对边分别__________的四边形是平行四边形. 2.一组对边______________的四边形是平行四边形. 3.两组对角分别__________的四边形是平行四边形. 二、平行线间的距离________. （四）随堂训练 1.下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（　D　） A.一组对边相等 　　　　 　　B.一组对边平行 C.两条对角线相等 　　　　　　D.两组对角分别相等 2.判断题： 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.（　×　） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（　√　） 两组邻角互补的四边形是平行四边形.（　×　） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（　√　） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（　√　） 3.如图，AC∥ED，点B在AC上且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形. 解：四边形ABDE，BCDE都是平行四边形. 理由： ∵ AB∥ED，AB＝ED， ∴ 四边形ABDE是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∵ BC∥ED， BC＝ED， ∴ 四边形BCDE是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 学生独立完成，教师评价 课堂练习 1. 如图1，在ABCD中，E，F分别为CD，AB的中点. 求证：四边形EGFH是平行四边形. 图1 图2 2. 如图2，已知：平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． 求证：四边形AECF是平行四边形. 参考答案 1.证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AB∥CD且AB＝CD. 又∵ E，F分别是CD，AB的中点， ∴ DE∥BF且DE＝BF， ∴ 四边形DEBF为平行四边形， ∴ DF//EB. 同理AE//FC， ∴ 四边形EGFH是平行四边形. 2.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD且AB∥CD，∴ ∠1＝∠2. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD， ∴ ∠AEB＝∠CFD， ∴ △ABE≌△CDF（AAS）， ∴ AE＝CF. 由AE⊥BD，CF⊥BD得AE∥CF， ∴ 四边形AECF是平行四边形. 课堂小结 一、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 二、平行线间的距离处处相等. 布置作业 完成教材第125页习题A组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.2　平行四边形的判定 第1课时 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.2　平行四边形的判定
第2课时
教学目标 1.通过探索，掌握平行四边形的判定定理2，判定定理3； 2.掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证. 教学重难点 重点：掌握平行四边形的判定定理2，判定定理3； 难点：掌握平行四边形的判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定方法进行推理论证. 教学过程 旧知回顾 回忆上一节所学的判定平行四边形的方法 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；（定义） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理） （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（拓展） 导入新课 继续猜想：对角线满足什么条件的四边形也是平行四边形呢？ 探究新知 平行四边形的判定定理2与判定定理3 （一）观察与思考 小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形. 小亮的做法：用4根木条搭成如图所示的四边形，其中AB＝CD，AC＝BD. 小芳的做法：画两条直线相交于点O，截取OA＝OC，OB＝OD;连接AB，BC，CD，DA，得到四边形ABCD. 　　　　 问题：（1）小亮和小芳的做法各自满足怎样的条件 （2）观察：你认为他们得到的四边形是平行四边形吗 （3）提出你的猜想，并试着说明理由. （二）探索新知 猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图，连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∴ △ABC≌△CDA（SSS）， ∴ ∠1＝∠2， ∠3＝∠4， ∴ AB∥DC，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 猜想2：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O且OA＝OC，OB＝OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：在△AOB和△COD中， ∴ △AOB≌△COD， ∴ ∠ABO＝∠CDO， ∴ AB∥CD. 同理AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）. 你还有其他解法吗？试一试. 解法2：证明：在△AOB和△COD中， ∴ △AOB≌△COD， ∴ ∠ABO＝∠CDO，AB＝CD， ∴ AB∥CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 归纳小结 平行四边形的判定定理2： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言： ∵ AB＝CD，AD＝BC（已知）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理3： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言： ∵ OA＝OC，OB＝OD（已知）， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. （三）典例解析 例3　已知：如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O， E，F分别为OA，OC的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ E，F分别是OA，OC的中点， ∴ OE＝OF. ∴ 四边形EBFD是平行四边形. 引申提高 在例3的已知条件下，如果E，F不再为OA，OC的中点，请你谈谈： （1）点E，F分别在OA，OC上，怎样确定点E，F的位置，可使四边形EBFD是平行四边形 （2）点E，F分别在OA，OC的延长线上，怎样确定点E，F的位置，可使四边形EBFD是平行四边形 变式1 已知：如图，E，F是平行四边形ABCD对角线OA，OC上的两点 ，并且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BO＝DO，OA＝OC. ∵ AE＝CF， ∴ OA-AE＝OC-CF， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形BFDE是平行四边形. 变式2：若上题中E、F继续移动至OA、OC的延长线上，仍使AE＝CF（如下图），则结论还成立吗？ 成立.证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BO＝DO，OA＝OC. ∵ AE＝CF， ∴ OA+AE＝OC+CF， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形BFDE是平行四边形. （四）随堂训练 1.判断下列四边形是不是平行四边形，并说明理由. （1） （2） （3） 2.如图，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF，图中有哪些互相平行的线段？ 解：图中互相平行的线段有： AB∥DC∥EF，AD∥BC，DE∥CF. 理由如下： ∵ AB＝DC，AD＝BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC. ∵ DC＝EF，DE＝CF， ∴　四边形CDEF是平行四边形， ∴ DC∥EF，DE∥CF. 3.已知：如图，ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且AE＝CG，BF＝DH. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠B＝∠D，AB＝CD. ∵ AE＝CG， ∴ BE＝DG. ∵ BF＝DH， ∴ △BEF≌△DGH， ∴ EF＝HG. 同理可证△AEH≌△CGF， ∴ EH＝FG. ∴ 四边形EFGH为平行四边形. 课堂练习 1.判断对错： （1）有一组对边平行的四边形是平行四边形.（　　） （2）有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形.（　　） （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （　　） （4）一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. （　　） （5）有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形. （　　） 2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　） A.OA＝OC，OB＝OD　　　　B.AB＝CD，AO＝CO C.AB＝CD，AD＝BC 　　　　D.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD 3.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证： （1）△AOC≌△BOD； （2）四边形AFBE是平行四边形. 参考答案 1.×　×　√　×　√　 2.B 3.证明：（1）∵ AC∥BD，∴ ∠C＝∠D. 又∵ ∠COA＝∠DOB，AO＝BO， ∴ △AOC≌△BOD（AAS）. （2）∵ △AOC≌△BOD，∴ CO＝DO. ∵ E，F分别是OC，OD的中点，∴ EO＝FO. 又∵ AO＝BO，∴ 四边形AFBE是平行四边形. 课堂小结 平行四边形的判定方法： 从边的角度：定义 判定定理1 判定定理2 从对角线角度：判定定理3 从角的角度：拓展. 布置作业 完成教材第128页习题A组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.2　平行四边形的判定 第2课时 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.3　三角形的中位线
教学目标 1.了解三角形中位线的定义，会与三角形的中线进行区别； 2.经历三角形中位线性质的探究过程，并会证明三角形中位线性质定理； 3.掌握三角形中位线的性质定理，理解三角形与四边形的关系，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重难点 重点：三角形中位线性质的探究过程，并会证明三角形中位线性质定理； 难点：掌握三角形中位线的性质定理，理解三角形与四边形的关系，提高分析问题和解决问题的能力. 教学过程 旧知回顾 回忆判定平行四边形的方法 （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（定义） （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（判定定理） （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（拓展） （4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（判定定理） （5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.（判定定理） 导入新课 A，B两地被建筑物阻隔，现在要测量出A，B两地间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？ 小明说出了一种测量的方法. 1.如图，在A，B外选一点C，连接AC和BC. 2.分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B的距离了. 你认为他说的对吗？为什么？今天我们就来学习解决这个问题的方法. 教师板书课题. 探究新知 一、中位线的定义 提出三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 学生作图：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？ （2）请学生画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同. 三角形中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形中线一端点是三角形的顶点、另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点. 教师：三角形的中位线定义的两层含义：如图，①∵ D，E分别为AB，AC的中点，∴ DE为△ABC的中位线；②∵ DE为△ABC的中位线，∴ D，E分别为AB，AC的中点. 观察猜想 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，那么它与第三边具有怎样的数量关系和位置关系呢 二、三角形的中位线定理 （一）一起探究 1. 如图，在△ABC中，画出它的三条中位线DE，DF，EF.沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一起，它们能完全重合吗？你发现DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？ 学生自己动手操作后发现：位置关系：DE∥BC； 数量关系：. 教师多媒体动画演示四个三角形重合过程； 2.如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF以点F为中心，顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形DCBE是平行四边形吗 由此你发现的EF与BC的位置关系和数量关系与上面的发现是否相同？ 发现：（1）四边形BCDE是平行四边形. （2）位置关系：EF∥BC. 数量关系：EF＝BC. 教师多媒体动画演示旋转过程 （二）论证你的发现 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，且DE＝BC. 证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF. ∵ AE＝CE，DE＝FE，∠AED＝∠CEF， ∴ △ADE≌△CFE. ∴ ∠A＝∠ACF，AD＝CF， ∴ AB∥CF，即BD∥CF. 又∵ AD＝BD，∴ BD＝CF. ∴ 四边形DBCF为平行四边形. ∴ DF＝ BC，DF∥BC. ∵ DE＝DF，∴ DE＝BC. 还有另外的证法吗？你认为证明这个命题的思路是什么？和你的同桌交流一下. 由此我们得到三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 在△ABC中，∵ AE＝EC，AD＝DB， ∴ DE∥BC，DE＝BC. 用途：①证明平行问题； ②证明一条线段是另一条线段的2倍或. 解决问题：回过头看看我们的问题导入 小明说出了一种测量的方法. 1.如图，在A，B外选一点C，连接AC和BC. 2.分别找出AC和BC的中点D，E，如果能测量出DE的长度，也就能知道A，B的距离了. 小明说的对，因为AB＝2DE. （三）新知应用 1.做一做 如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AC＝12，BC＝16.求四边形DECF的周长. 解：∵ D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴ DF∥EC，DE∥FC， ∴ 四边形DECF是平行四边形， ∴ CE＝DF＝BC＝8，CF＝DE＝AC＝6， ∴ 所求四边形DECF的周长为28. 2.已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P为对角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证：△PMN是等腰三角形. 证明：在△ABD中，∵ N，P分别为AB，BD的中点， ∴ PN＝AD.同理PM＝BC. 又∵ AD＝BC，∴ PN＝PM. ∴ △PMN是等腰三角形. （四）随堂训练 　　　 图1 图2 1.如图1，在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE＝60°，则∠B＝　60　度. （2）若BC＝8 cm，则DE＝　4　 cm. 2.如图2，在△ABC中，D，E，F分别是各边中点，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，则△DEF的周长＝　12　 cm. 3.如图3，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于点D，AB＝4，BC＝6，则DF＝　1　. 　　　　 图3 图4 图5 4.已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接AC（如图5所示）， ∵ G，H分别是CD，DA的中点， ∴ HG∥AC，HG＝AC（三角形的中位线定理）. 同理EF∥AC，EF＝AC. ∴ HG∥EF，且HG＝EF. ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 课堂练习 1.已知三角形的三边长分别为5，9，12，连接各边中点所成三角形的周长是＿＿. 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是各边中点，若DF＝5，则AC＝ ；若AB＝12，则EF＝ . 3.如2题图，DE是△ABC的中位线，若∠DFB＝70°，则∠C＝ °. 4.已知△ABC的周长为50 cm，D，E，F是三角形三边的中点，中位线DE＝8 cm，EF＝10 cm，则另一条中位线DF的长是 . 5.如图所示，在△ABC中，AB，BC，CA的中点分别是E，F，G，AD是高. 求证：∠EDG＝∠EFG. 参考答案 1.13　2.10　6　3.70　4.7 cm 5.证明：连接EG， ∵ E，F，G分别是AB，BC，CA的中点， ∴ EF为△ABC的中位线，EF＝AC. 又∵ AD是高，∴ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°. ∴ DG为直角三角形ADC斜边上的中线， ∴ DG＝AC. ∴ DG＝EF. 同理DE＝FG. ∵ EG＝GE， ∴ △EFG≌△GDE（SSS）， ∴ ∠EDG＝∠EFG. 课堂小结 1.三角形的中位线是三角形中一种重要的线段，它与三角形的中线不同. 2.三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理.熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键. 3.在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，其中学会了一种很重要的探究问题的方法. 4.本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法. 布置作业 完成教材第132页习题A组、B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.3　三角形的中位线 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.4　矩　形
第1课时　矩形的性质
教学目标 1.理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形关系； 2.经历探索矩形性质的过程并掌握矩形的性质定理； 3.能灵活运用矩形的性质定理解决相关的问题，发展演绎推理能力. 教学重难点 重点：探索矩形性质的过程并掌握矩形的性质定理； 难点：灵活运用矩形的性质定理解决相关的问题. 教学过程 旧知回顾 1.回忆平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.回忆平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角线互相平分； （3）平行四边形的对角相等，邻角互补； （4）是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 导入新课 观察生活中的图形，根据你的经验，它们是什么图形呢？ 教具演示：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点（多媒体演示），当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义. 探究新知 一、矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 条件：一个直角+平行四边形. 想一想：矩形与四边形、平行四边形有什么关系？ 我们是从哪几个方面去研究平行四边形的性质的？矩形呢？ 二、矩形的性质 探究： 1.如图，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.矩形有几条对称轴，它们都经过矩形的中心吗？ 答案：2条，经过. 矩形是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心如何寻找？ 答案：是，两条对角线的交点. 结论1.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 2.四边形不具有稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角. 在这个过程中： （1）这个四边形总是平行四边形吗？ 答：是.既然矩形是平行四边形，因此它具备平行四边形的一切性质： 对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分. （2）当α＝90°时，其余三个内角各是多少度的角？ 答：均为90 °. 你能试着证明你的猜想吗？ 求证：矩形的四个角都是直角. 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°. ∵ 矩形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A +∠B＝180°. ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 即矩形的四个角都是直角. 结论2.矩形的性质定理1：矩形的四个内角都是直角. （3）当α＝90°时，两条对角线的长有怎样的关系？ 答：相等. 请你再次证明你的猜想. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：AC＝BD. 证明：在矩形ABCD中， ∴ △ABC≌△DCB（SAS）， ∴ AC＝BD. 即矩形的对角线相等. 结论3.矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等. 新知再现 类别边角对角线对称性平行四边形对边平行 且相等对角相等， 邻角互补对角线互 相平分中心对称图形矩形对边平行 且相等四个角 为直角对角线互相 平分且相等中心对称图形、轴对称图形
新知应用 例1　如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4 cm，求矩形ABCD对角线的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD. ∵ ∠AOD＝120°， ∴ ∠AOB＝60°， ∴ △AOB是等边三角形， ∴ AO＝BO＝AB＝4 cm，AC＝AO+OC＝AO+OB＝8 cm. 即矩形ABCD对角线的长为8 cm. 方法小结：若矩形两条对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是　对角线相等，四个内角都是直角　. 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（ D ） A.∠ABC＝90° 　　　B.AC＝BD 　　　Ｃ.OA＝OB 　　　D.OA＝AD 3.如2题图，已知四边形ABCD是矩形，则图中相等的线段、相等的角有哪些？等腰三角形、直角三角形、全等三角形有哪些？ 相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角：∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB. 等腰三角形有：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD. 直角三角形有：Rt△ABC，Rt△BCD，Rt△CDA，Rt△DAB. 全等三角形有：Rt△ABC≌Rt△DCB≌Rt△CDA≌Rt△BAD，△OAB≌△OCD，△OAD≌△OCB. 课堂练习 1.矩形具有而平行四边形不具有的性质（　　） A.内角和是360度 　　　　 B.对角相等 C.对边平行且相等 　　　　 D.对角线相等 2.下列性质中，矩形不一定具有的是（　　） A.对角线相等 　　　　　　　　B.四个角相等 C.是轴对称图形 　　　　　　　 D.对角线垂直 3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A.角 　　　B.任意三角形 　　　 C.矩形 　　　 D.等腰三角形 4.如图，由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分该顶点处的直角为3∶1两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角是（　　） A.60度　 　B.45度 　　　　　 C.30度　　　 D.22.5度 5.已知：如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF. 求证：BE＝DF. 参考答案 1.D　2.D　3.C　4.B 5.证明：∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ AB＝CD，∠A＝∠C＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF（SAS）， ∴ BE＝DF（全等三角形对应边相等）. 课堂小结 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.矩形的性质：除具备平行四边形的一切性质外，另有特性：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形. 布置作业 完成教材第136页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.4　矩　形 第1课时　矩形的性质 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.4　矩　形
第2课时　矩形的判定
教学目标 1.探索并证明矩形的判定定理； 2.灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 教学重难点 重点：探索并证明矩形的判定定理； 难点：灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 教学过程 旧知回顾 回忆矩形的性质： 除具备平行四边形的一切性质外，另有特性： ①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形. 导入新课 问题情境： 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？ 你现在有办法帮他吗 今天我们来学习矩形的判定，教师板书课题. 探究新知 矩形的判定 （一）矩形的判定方法1（定义法） 由定义入手： 分析矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 由定义识别：∵ 四边形ABCD为矩形，∠A＝90°， ∴ ABCD是矩形. （二）矩形的判定定理1，2 一起探究 我们知道矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形有几个角是直角就能判定它是矩形呢？（小组合作，完成猜想并进行证明） 猜想： 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 请观察下面三幅图，提出你的猜想. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A＝∠B＝90°， ∴ ∠A+∠B＝180°， ∴ AD∥BC. 同理可得AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 归纳 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 请你画一个对角线相等的平行四边形，观察所画图形并提出你的猜想. 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在ABCD中，AC＝BD. 求证：ABCD是矩形. 证明：∵ 在ABCD中，AB＝DC，BC＝CB，且AC＝DB， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）， ∴ ∠ABC＝∠DCB. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC+∠DCB＝180°， ∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是矩形. 归纳 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 在平行四边形ABCD中，∵ AC＝BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形. 议一议 对角线相等的四边形是矩形吗？答案是否定的，反例如下图： （三）总结矩形常用的判定方法 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 下面我们用一个简单的图示来展示矩形的判定方法的使用. 解决问题 现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？（学生讨论，展示成果） 方案：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么窗框符合规格. 方案：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么窗框符合规格. 方案：分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边的长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格. 例题讲解 例　已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，且OA＝OC，OB＝OD， ∴ OA＝OC＝OB＝OD. 又∵ 点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点， ∴ OE＝OG＝OH＝OF， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 又∵ EG＝OE+OG＝OH+OF＝HF， ∴ 平行四边形EFGH是矩形. 变式训练 已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AO＝BO＝CO＝DO. 又∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 又∵ EO+OG＝FO+OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形. 练习 1.下列说法是否正确？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形.（　×　） （2）四个角都相等的四边形是矩形.（　√　） （3）四个角都是直角的四边形是矩形.（　√　） （4）对角线相等的四边形是矩形.（　×　） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（　√　） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.（　√　） 2.已知：如图，在四边形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，试说明四边形ABCD是矩形. 证明：∵ AO＝BO＝CO＝DO， ∴ AO＝CO，BO＝DO. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ AO+CO＝BO+DO，即AC＝BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形. 课堂练习 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，求证：四边形ABCD是矩形. 　　　　 2.如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线，CE⊥BE，CD⊥BD，E，D为垂足，试猜想四边形BECD的形状并证明. 3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：OE＝OF. （2）当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形 说明理由. 参考答案 1.证明：∵ AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴ ， ∴ ∠B＝90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是矩形. 2.解：四边形BECD是矩形.证明如下： ∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线， ∴ ∠DBE＝90°. 又∵ CE⊥BE，CD⊥BD， ∴ ∠D＝∠E＝90°， ∴ 四边形BECD是矩形. 3.（1）证明：∵ CF平分∠ACD，∴ ∠ACF＝∠DCF. 又∵ MN∥BC，∴ ∠OFC＝∠DCF.∴ ∠ACF＝∠OFC， ∴ OC＝OF. 同理可得OC＝OE，∴ OE＝OF. （2）解：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：由（1）知OE＝OF， 又AO＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形. 又∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴ ∠ACF +∠ACE＝90°，即∠ECF＝90°. ∴ 四边形AECF是矩形. 课堂小结 矩形的判定方法 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 布置作业 完成教材第139页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.4　矩　形 第2课时　矩形的判定 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.5　菱　形
第1课时　菱形的性质
教学目标 1.理解菱形的定义，了解菱形、平行四边形、矩形之间的关系； 2.经历探索菱形性质的过程，掌握菱形的性质； 3.灵活利用菱形的性质解决相关的问题. 教学重难点 重点：探索菱形性质的过程，掌握菱形的性质. 难点：灵活利用菱形的性质解决相关的问题. 教学过程 旧知回顾 1.回忆平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边平行且相等. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. 角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 2.回忆矩形的性质： 除具备平行四边形的一切性质外，另有特性： ①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形. 导入新课 感受生活 观察这些图形，它们有什么共同特点？与平行四边形有哪些不同？ 今天我们来学习菱形的有关性质，教师板书课题. 探究新知 一、菱形的定义 由上面的图形我们观察到：它们均为平行四边形，而且有一组邻边相等，我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形继承了平行四边形的全部性质，上一节我们学习了矩形，它也是一个特殊的平行四边形，因此有不同于平行四边形的特殊性质，那么菱形有哪些特殊的性质呢？ 二、菱形的性质定理 （一）一起研究 将剪出的菱形纸片按图示方法折叠，再展开. 谈谈你的发现：通过折叠发现重合的元素有哪些？你能得出菱形的特殊性质吗？ 学生小组合作，完成菱形性质的探索. （1）两条折痕的交点O为菱形的中心. （2）菱形是轴对称图形吗？如果它是轴对称图形，那么它有几条对称轴？都是哪些直线？ 答案：菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线. （3）菱形的四条边有怎样的数量关系？ 答案：菱形的四条边相等. 证明你的结论. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AB＝AD. 求证：AB＝AD＝CD＝BC. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝CD，AD＝CB. 又∵ AB＝AD，∴ AB＝AD＝CD＝BC. （4）菱形ABCD的两条对角线有怎样的位置关系？ 答案：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 请证明你的结论. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O. 求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD＝CB＝CD. ∵ BO＝OD ，∴ AC⊥BD， ∴ AC平分∠BAD和∠BCD. 同理可证BD平分∠ADC和∠ABC. 归纳总结：菱形的性质定理 菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等. 菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. （二）例题讲解 例1　如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120° ，求对角线BD和AC的长. 解：∵ 菱形ABCD的周长为16， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝16÷4＝4. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝ 60°， ∴ △ABD是等边三角形，∴ BD＝AB＝4. 在Rt△AOB中，OB＝2，AB＝4， ∴ AO＝＝＝＝，∴ AC＝2AO＝. 三、菱形的面积公式 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积 能.如图，S菱形ABCD＝BC×AE. 思考：利用对角线能计算菱形的面积吗 教师指点：从对角线互相垂直去考虑. S菱形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC×BD. 即菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半. 例2　如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）. 解：∵ 花坛ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， ∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝×60°＝30°， ∴ 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10（m）， BO＝（m）， ∴ 花坛的两条小路长AC＝2AO＝20.0（m）， BD＝2BO＝≈34.64（m）. 花坛的面积S菱形ABCD ＝AC×BD＝×20×34. 64 ≈346.4（m2）. 四、随堂训练 1.如图1，若要使ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（　C　） A. AB＝CD 　　B. AD＝AC　　　C. AB＝BC 　 D. AC＝BD 2.如图2，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论： ①S△ADE＝S△EOD； ②四边形BFDE是中心对称图形； ③△DEF是轴对称图形； ④∠ADE＝∠EDO. 其中正确的有（　C　） A.1个 　　　 B.2个 　　　 C.3个 　　　 D.4个 　　　　　 图 1 图2 图3 图4 3.如图3，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（　A　） A.1 cm 　　　 B.2 cm 　　 　 C.3 cm 　　　 D.4 cm 4.如图4，在菱形ABCD中，作BE⊥AD于点E，作CF⊥AB交AB的延长线于点F. （1）求证：AE＝BF. （2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长. （1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，AD∥BC， ∴ ∠A＝∠CBF. ∵ BE⊥AD，CF⊥AB， ∴ ∠AEB＝∠BFC＝90°. ∴ △AEB≌△BFC（AAS）， ∴ AE＝BF. （2）解：∵ E是AD的中点，且BE⊥AD， ∴ BD＝AB＝2. 课堂练习 1.已知菱形的周长是12 cm，那么它的边长是______. 2.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则∠BAC＝_______. 3.菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，那么菱形的边长是______. 4.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是_______. 　　　 5.已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC. （1）求证：AE＝EC. （2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC的什么位置？说明理由. 参考答案 1.3 cm 2.60° 3.5 cm 4.60° 5.（1）证明：如图，连接AC. ∵ BD是菱形ABCD的对角线， ∴ 线段BD所在的直线是线段AC的垂直平分线. ∵ E是线段BD上一点， ∴ AE＝EC. （2）解：点F在线段BC的中点处. 理由如下：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC. 又∵ ∠ABC＝60°， ∴ △ABC是等边三角形， ∴ ∠BAC＝60°. ∵ AE＝EC， ∴ ∠EAC＝∠ACE. ∵ ∠CEF＝60°， ∴ ∠EAC＝30°， ∴ ∠BAE＝∠EAC＝30°， ∴ AF是△ABC的角平分线， ∴ BF＝CF. 即点F在线段BC的中点处. 课堂小结 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等. 3.菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 布置作业 完成教材第143页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.5　菱　形 第1课时　菱形的性质 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.5　菱　形
第2课时　菱形的判定
教学目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理； 2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. 教学重难点 重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 难点：会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. 教学过程 旧知回顾 回忆菱形的特性： 边：菱形的四条边相等. 对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 导入新课 我们知道菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直.反过来，如果一个四边形的四条边都相等，那么能判断这个四边形是菱形吗？如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么能判断这个平行四边形是菱形吗？今天我们就来研究一下，教师板书课题. 探究新知 一、菱形的判定定理1 同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定时，首先想到的方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定方法是什么？ 由定义入手： 判定定理1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵ 在平行四边形ABCD中，AB＝AD， ∴ 平行四边形ABCD是菱形. 二、菱形的判定定理2 一起探究 先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，就得到了一个四边形，猜一猜： 1.这个四边形的四边在数量上有什么关系 答案：四条边相等. 2.这是什么特殊的四边形？ 答案：菱形. 由此你得到什么猜想？ 猜想： 四边形+四条边相等→菱形. 证明你的猜想. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵ AB＝CD，BC＝DA， ∴ 四边形ABCD为平行四边形. 又∵ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是菱形. 归纳小结 菱形的判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形. 几何语言： ∵ 在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD， ∴ 四边形ABCD是菱形. 三、菱形的判定定理3 大家谈谈 如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，点O是这两条对角线的交点. （1）你能说明图中的Rt△ABO，Rt△CBO，Rt△CDO，Rt△AOD是全等的吗？ 答案：能.根据SAS即可判定. （2）平行四边形ABCD的四条边都相等吗？ 答案：相等. （3）求证：平行四边形ABCD是菱形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. 又∵ AC⊥BD， ∴ ∠AOD＝∠COD＝∠COB＝∠AOB＝90°， ∴ △AOD≌△COD≌△COB≌△AOB， ∴ AB＝BC＝CD＝AD， ∴ 四边形ABCD是菱形（菱形的判定定理2）. 归纳总结 菱形的判定定理3：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵ 在ABCD中，AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形. 思考： 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.这句话对吗？ 学生自行讨论，得出结论. 也是正确的，只是用起来不太方便，所以不把它作为定理. 总结：菱形的判定方法： 一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四条边相等的四边形是菱形； 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 我们通过一个图示来梳理一下菱形的判定方法. 四、例题讲解 例　如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F. 试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由. 解：四边形AEDF是菱形. 理由：∵ DE∥AC，DF∥AB， ∴ 四边形AEDF是平行四边形. ∵ DE ∥AC， ∴ ∠2＝∠3. ∵ AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1＝∠2， ∴ ∠1＝∠3， ∴ AE＝DE， ∴ AEDF是菱形. 五、随堂训练 学生先独立完成，后教师进行评价. 1.判断下列说法是否正确. （1）对角线互相垂直的四边形是菱形.（ × ） （2）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.（ √ ） （3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形.（ × ） （4）两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.（ × ） 2.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ B ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 3.下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ D ） A.对角线互相垂直 　　　　　　　　 B.对角线互相平分且相等 C.对角线相等且对角相等　　　　　　 D.对角线互相垂直平分 4.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. 证明：连接AC，BD. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD. ∵ 点E，F，G，H为矩形各边中点， ∴ EF＝GH＝，FG＝EH＝， ∴ EF＝FG＝GH＝HE， ∴ 四边形EFGH是菱形. 课堂练习 1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形OCED是菱形. 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF＝. （1）求证：四边形AECF是菱形. （2）求线段EF的长. 参考答案 1.证明：∵ DE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形OCED是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OC＝OD， ∴ 四边形OCED是菱形. 2.（1）证明：∵ 在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2， ∴ CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°. 又∵ DF＝BE＝，∴ △ADF≌△CBE， ∴ AF＝CE＝＝. ∵ BE＝DF＝， ∴ CF＝AE＝4-＝. ∴ AF＝CF＝CE＝AE＝， ∴ 四边形AECF是菱形. （2）过点F作FH⊥AB于点H（图略），则四边形AHFD是矩形， ∴ AH＝DF＝，FH＝AD＝2，∴ EH＝AE-AH＝-＝1. ∴ EF＝＝＝. 课堂小结 菱形的判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.判定定理1：四条边相等的四边形是菱形. 3.判定定理2：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 布置作业 完成教材第146页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.5　菱　形 第2课时　菱形的判定 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.6　正方形
教学目标 1.理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系； 2.掌握正方形的有关性质和判定方法，能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题； 3.通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展合情推理能力，提高逻辑思维能力. 教学重难点 重点：掌握正方形的有关性质和判定方法，能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题； 难点：通过观察、实验、归纳、类比获得数学猜想，发展合情推理能力，提高逻辑思维能力. 教学过程 旧知回顾 回忆几种特殊四边形的定义及性质： 类别定义边角对角线对称性平行 四边形两组对边分别平行的四边形对边平行且相等对角相等，邻角互补对角线互相平分中心对称图形矩形有一个角是直角的平行四边形对边平行 且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分轴对称图形、中心对称图形菱形有一组邻边相等的平行四边形对边平行，四边都相等对角相等，邻角互补对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称图形、中心对称图形
导入新课 观察图片，回答下列问题： 　　 上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形，除菱形、矩形外，还有一种特殊的平行四边形，观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么共同特征吗 与同伴交流. 探究新知 一、正方形的定义 由上面的图片我们得到正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 二、正方形的性质 （一）大家谈谈 1.正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它有几条对称轴？都是哪些直线？ 答案：正方形是中心对称图形，对称中心为点O，它也是轴对称图形，有4条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线. 2.结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系. 平行四边形、矩形、菱形、正方形有怎样的关系 你能表示出来吗 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 3.根据三者的关系，正方形具有哪些性质呢？ （1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分. （2）具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等. （3）具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角. 归纳如下： 正方形性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等. （2）角的性质：四个角都是直角. （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. （二）例题讲解 例1　已知：如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上. 求证：BE＝DE. 证明：在△AED和△AEB中， ∵ AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，AE＝AE， ∴ △AED≌△AEB， ∴ BE＝DE. 例2　已知：如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形. 求证：∠EAD＝∠EDA＝15°. 证明：∵ 在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形， ∴ BE＝CE＝BC＝AB＝CD，∠EBC＝∠ECB＝∠CEB＝60°， ∴ △ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝75°， ∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°－75°＝15°. 三、正方形的判定 问题：具备什么条件的四边形是正方形？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角. 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可. 归纳：正方形的判定方法（可以平行四边形、矩形、菱形为基础）. 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形. 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形. 做一做 已知：如图所示，点E，F，M，N分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CM＝DN.求证四边形EFMN是正方形. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形且AE＝BF＝CM＝DN， ∴ AN＝BE＝CF＝DM. 又∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ △AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM， ∴ EN＝EF＝FM＝MN，∠AEN＝∠DNM， ∴ 四边形EFMN是菱形. ∵ ∠AEN+∠ANE＝90°， ∴ ∠DNM+∠ANE＝90°， ∴ ∠ENM＝90°， ∴ 四边形EFMN是正方形. 四、随堂训练 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ） A.四个角相等 　　　　　　　　B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 　　　　　　　　D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A.四条边相等 　　　　　B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 　　　　　D.对角线相等 3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ C ） A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B. AD∥BC，∠A＝∠C C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC 4.已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6 cm，则正方形ABCD的面积S＝　18 cm2　. 5.如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于点E，交AD于点M，求证：∠MFD＝45°. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AD＝CD，AD⊥CD. 又∵ CE⊥AF， ∴ ∠1＋∠CFE＝∠2＋∠CFE＝90°， ∴ ∠1＝∠2. 在△ADF和△CDM中， ∴ △ADF≌△CDM（ASA）， ∴ DF＝DM. ∴ △MDF是等腰直角三角形， ∴ ∠MFD＝45°. 课堂练习 1.判断下列说法是否正确. （1）有一个角为直角的菱形是正方形.（　　） （2）四个角都相等的四边形是正方形.（　　） （3）四条边都相等的四边形是正方形.（　　） （4）有一组邻边相等的矩形是正方形.（　　） （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形.（　　） （6）对角线相等的菱形是正方形.（　　） （7）对角线互相垂直的矩形是正方形.（　　） （8）对角线互相垂直平分的四边形是正方形.（　　） 2.如图所示，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是（　　） A.3 　　　　 B.4 　　　　 C.5 　　　 D.6 3.已知：如图所示，四边形ABCD为正方形，E，F分别为CD，CB延长线上的点，且DE＝BF.求证∠AFE＝∠AEF. 参考答案 1.√　×　×　√　×　√　√　× 2.B 3.证明：∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB＝AD. ∵ DE＝BF，∠FBA＝∠ADE＝90°， ∴ △ABF≌△ADE， ∴ AF＝AE， ∴ ∠AFE＝∠AEF． 课堂小结 正方形： 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等. （2）角的性质：四个角都是直角. （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. 3.判定：1.是矩形，并且有一组邻边相等. 2.是菱形，并且有一个角是直角. 布置作业 完成教材149页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.6　正方形 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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第二十二章　四边形
22.7　多边形的内角和与外角和
教学目标 1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角及对角线等概念； 2.探索求多边形的内角和、外角和的方法； 3.会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 教学重难点 重点：探索求多边形的内角和、外角和的方法； 难点：会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题. 教学过程 旧知回顾 回忆三角形的内角和定理与外角和定理： 三角形的内角和为180°，外角和为360°. 导入新课 欣赏图片 问题：嘉琪想画一个内角和为2 008°的多边形，她能实现吗？ 今天我们就来帮一帮她，教师板书课题. 探究新知 多边形的定义及其他元素 1.观察这些图形，它们有什么共同的特点 归纳：________________________________________________________叫做多边形. 在定义中应注意：①不在同一条直线上;②首尾顺次相接.二者缺一不可，多边形有凸多边形和凹多边形之分，一个多边形如果总在它的任何一条边所在直线的同一侧，这个多边形就叫做凸多边形，我们只研究凸多边形. 多边形有几条边就叫做几边形，三边形就是我们通常所说的三角形. 2.多边形的边、顶点、对角线、内角的含义. 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边， 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 对角线：连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 下面我们探究多边形的内角和与外角和. 二、多边形的内角和定理 一起探究： 1.我们知道三角形的内角和为180°，你能猜想四边形、五边形和六边形的内角和各是多少吗？ 2.以五边形和六边形为例，如何将求五边形和六边形内角和的问题转化，利用三角形内角和定理求多边形的内角和？ 3.将多边形分割成不重叠的三角形，分别求四边形、五边形、六边形的内角和，猜想n边形的内角和，并将结果填入下表.（小组合作） 多边形图形（分割成三角形）分割出的三角形的个数多边形的内角和四边形五边形六边形n边形
我们发现，n边形的内角和等于（n-2）×180°. 现在我们来证明这个结论. 已知：如图，n边形A1A2A3A4…An-1An. 求证：n边形A1A2A3A4…An-1An的内角和为（n-2）×180°. 证明：连接A1Ai（i＝3，4，…，n-1），得到△A1Ai-1Ai（i＝3，4，…，n-1，n），共有（n-2）个三角形. ∵ △A1Ai-1Ai（i＝3，4，…，n-1，n）的内角和为180°， ∴ n边形A1A2A3A4…An-1An的内角和＝△A1A2A3的内角和+△A1A3A4的内角和+…+△A1An-1An的内角和＝（n-2）×180°. 归纳：多边形的内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）. 三、多边形的外角和 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和. 填表：（同桌合作） 多边形三角形四边形五边形六边形…图形外角和
你能得出什么规律？能不能利用n边形的内角和定理，求n边形的外角和. n边形外角和＝n个平角的和-n边形内角和＝n×180°-（n-2）×180°＝360°. 归纳：多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360 . 四、例题讲解 例1　已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形 学生独立完成，教师评价. 解：设多边形的边数是n，则它的内角和等于（n-2）×180°，外角和等于360°. 由题意，得（n-2）×180°＝360°. 解这个方程，得n＝4. 所以，这个多边形是四边形. 例2　如图，小亮从点O处出发，前进5 m后向右转20°，再前进5 m后又向右转20°，这样走n次恰好回到点O处. （1）小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度？内角和是多少度？ （2）小亮走出的这个n边形的周长是多少？ 教师指点，学生分析：（1）根据每一个外角与相邻内角互补可求每个内角的度数，先利用外角和定理求出边数，再利用内角和定理求出内角和即可； （2）周长＝边数×5. 解：（1）这个n边形的每个内角为180°-20°＝160°. 因为多边形的外角和等于360°， 所以n×20°＝360°. 解得n＝18. 所以这个n边形的内角和＝（18-2）×180°＝2 880°. （2）5×18＝90（m）， 所以，小亮走出的这个n边形的周长为90 m. 五、随堂训练 1.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（　B　）边形. A.7 B.6 C.5 D.4 2.一个多边形的内角和与外角和之和为540°，则它是（　Ｃ　）边形. A.5 　　　　 B.4 C.3 　 　　D.不确定 3.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为　36°　，每个内角的度数为　144°　. 4.在四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D＝280°，那么∠B的度数是多少？ 解：因为四边形ABCD的内角和为（4-2）×180°＝360°， 所以∠B＝360°-280°＝80°. 课堂练习 1.十二边形的内角和是____________. 2.正六边形的一个内角等于____________. 3.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加____________. 4.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是________边形. 5.一个多边形的内角和是720°，则此多边形共有____________个内角. 6.一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形为（　　） A.三角形 　　　 B.四边形 　　　C.五边形　　　 D.六边形 7.一个n边形的外角和与内角和的度数之比为2∶7，求n的值. 参考答案 1.1 800° 2.120° 3.180° 4.四 5.六 6.D 7.解：由题意得360°∶（n-2）×180°＝2∶7，解得n＝9. 课堂小结 多边形 1.定义：平面上，由不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形. 2.内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180 °（n≥3）. 3.外角和定理：多边形的外角和等于360 . 布置作业 完成教材第153页习题A组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.7　多边形的内角和与外角和 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
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