2.1 两条直线的位置关系（第1课时）教学课件 北师大版中学数学七年级（下）

(共28张PPT)
第 二 章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角与补角
学习目标
1.理解对顶角、补角与余角的概念； （重点）
2.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的
性质进行角的运算及解决一些实际问题. （难点）
新课导入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁.在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
一、对顶角的概念及性质
1
2
A
B
C
D
O
直线与相交于点，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
知识讲解
探究：如图，直线相交于，∠1和∠2有什么位置关系？
1.有公共顶点；
2.两边互为反向延长线.
例1 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C.
1
2
D.
D
1
2
A.
1
2
B.
提示：对顶角是由两条相交直线构成的；只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
猜想：对顶角相 等
C
O
A
B
D
4
3
2
1
问题：∠1 与∠3在数量上有什么关系呢？
思考：怎样说明∠1=∠3？
O
A
B
C
D
4
3
2
1
例1 如图，已知：直线AB与CD相交于点O,试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
同理可得∠2=∠4.
对顶角的性质：对顶角相等
解：
因为直线B与相交于点,
所以∠=180°，∠=180°，
所以∠1+∠2=180° ，∠2+∠3=180°，
所以∠1=∠3.
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补.
4
3
数学表达式
，
互补.
1.
2.
互补，
二、余角和补角的概念
1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
如图，可以说∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
2
∵∠1∠2=90°，
∴∠1、∠2互余.
∵∠1、∠2互余，
∴∠1∠2=90°.
1.
2.
数学表达式
1.判断下列说法是否正确：
练一练
（1）90度的角叫余角，180度的角叫补角. （ ）
（3）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角.（ ）
（4）互补的两个角不可能相等. （ ）
（5）钝角没有余角，但一定有补角.（ ）
（6）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ）
（2）若 （ ）







（7）互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边.（ ）
2.图中给出的各角，那些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
练一练
3.图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
练一练
例2 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
故∠B 的度数为15°.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°.
根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
三、余角和补角的性质
图1
N
1
2
D
C
O
3
4
A
B
图2
如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1简化成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.
小组合作交流，解决下列问题：在图2中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.
同角(等角)的补角相等
N
1
2
D
C
O
3
4
A
B
图2
因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(等角)的余角相等
归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
N
2
D
C
O
1
3
4
A
B
图2
例3 如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝
2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？
解：互余.
∵ ,
∴ ∠∠
∴
∴ ∠1与 ∠2 互余.
(2)指出图中所有互余和互补的角．
解：互余的角：∠
互补的角：
随堂训练
2.如图，直线与相交于点，已知∠＝30°，是∠的平分线，则∠＝ .
105°
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
150°
4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
62°
28°
5.如图，∠，，则=____度.
90
4.如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°.
(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．
解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.
(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，
所以∠BOD＝30°.
因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝30°，
所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.
6. 如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
(2)若∠DCE=30.°，求∠ACB的度数.
解：(1).理由如下:
因为，
所以.
(2)由余角的定义，得.
由角的和差，得.
7．如图①，和都是直角．
（1）如果，求的度数；
（2）找出图①中相等的锐角，并说明相等的理由；
（3）在图②中，利用三角板画一个与相等的角．
解：（1）因为，所以.
又因为，所以.
（2）.理由如下：
因为，所以
所以
（3）如图,即为所求．
课堂小结
对顶角相等
②有公共顶点;
③没有公共边
1.对顶角
①两条直线相交而成的角；
（1）特征
（2）性质
1
2
A
B
C
D
O
互余 互补
图形
数学语言
性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等
2.余角和补角