1.1等腰三角形（第1课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

1.1 等腰三角形（第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质）
教学目标
1．回顾在“平行线的证明”一章中学习的作为证明基础的8条公理的内容．
2．学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理．
3．让学生学会分析几何证明题的解题思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式．
4．经历作辅助线的过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养学生主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系．
教学重点难点
重点：等腰三角形的性质及其推论．
难点：1.运用等腰三角形的性质及其推论解决相关问题；2.能规范书写证明的格式．
教学过程
导入新课
一、在八年级上册的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.同位角相等，两直线平行；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
二、图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
探究新知
一、预习新知
（阅读教材P2～P3的内容，回答下面问题）
1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
3．等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角．
4．等腰三角形“三线合一”：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．
二、合作探究
问题1　全等三角形的判定和性质
问：同学们，你能运用基本事实及已经学过的定理证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论吗？
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
【互动】(引发学生思考)三角形的内角之间有什么关系？由角相等可以得到什么？这与证明两个三角形全等有什么关系？
证明：∵∠A+∠B+∠C=180，
∠D+∠E+∠F=180（三角形的内角和等于180），
∴∠C=180－(∠A+∠B)，∠F=180－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.
【总结】证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【结论】
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）
根据全等三角形的定义，我们进一步可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
问题2 等腰三角形的性质及其推论
问：同学们，大家还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
【互动】（帮助学生回忆复习）等腰三角形的角有什么特点？“三线”呢？
定理 等腰三角形的两个底角相等.
推论 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一).
问：怎样利用已有的公理和定理证明这些结论呢
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
【互动】证明角相等有哪些方法？全等三角形的角有什么性质？
证明：如图，作底边的中线AD，则BD=CD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
【互动】你还有其他的证明方法吗？（激发学生的求知欲，拓展学生处理问题的思路）
作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
【互动】由△BAD≌△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看有什么新的发现？
【探究】由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180，
∴ ∠ADB=∠ADC=90.
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高线 .
【总结】 定理:等腰三角形的两个底角相等，简记为等边对等角.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简记为三线合一.
三、新知应用
例 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125.求∠ACB和∠BAC的度数．
【探索】根据等腰三角形“三线合一”可得AE⊥BC→求出∠CDE的度数→根据“直角三角形两锐角互余”求出∠DCE的度数→根据角平分线的定义求出∠ACB的度数→根据“等腰三角形两底角相等及三角形的内角和等于180”求出∠BAC的度数.
【解】∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125，
∴∠CDE＝180－∠ADC＝55，∴∠DCE＝90－∠CDE＝35.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70，
∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40.
【总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角平分线或底边上的高线与其他两线互相重合．
课堂练习
1.如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80，则∠BCD＝(　　)
A．80 B．100　
　C．140 　D．160
【总结】求角的度数时，需根据实际情况分析：(1)在等腰三角形中，要考虑两底角相等和三角形内角和定理；(2)有平行线时，要考虑平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补）；(3)有两条相交直线时，要考虑对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180.
2.等腰三角形的一个角为110,它的另外两个角的度数分别为 .
3.等腰三角形的一个角等于30，求它其余两角的度数．
【总结】已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．
4.如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE.
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
图① 图②
参考答案
1.C 解析:∵∠BAD＝80，
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360－∠BAD＝280.
又∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280÷2＝140.
2.35，35
3.解:分情况讨论：
当底角为30时，顶角的度数为180－2×30＝120；
当顶角为30时，底角的度数为(180－30)÷2＝75.
综上，该等腰三角形其余两角的度数为30，120或75，75.
4.证明：(1)如图，过点A作AG⊥BC于点G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1．两三角形全等的判定：AAS，ASA，SSS，SAS.
2．等腰三角形
布置作业
请完成教材习题1.1
板书设计
1　等腰三角形
第1课时　三角形的全等和等腰三角形的性质
问题1　全等三角形的判定和性质
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
问题2 等腰三角形的性质及其推论
定理:等腰三角形的两个底角相等，简记为等边对等角.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简记为三线合一.
例 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125.求∠ACB和∠BAC的度数．