1.1等腰三角形（第2课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

1.1 等腰三角形（第2课时 等边三角形的性质）
教学目标
1．进一步学习等腰三角形的相关性质，理解等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的性质．
2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．
3．把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处与不同之处．
教学重点难点
重点：等腰三角形、等边三角形的相关性质．
难点：等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用．
教学过程
导入新课
在七年级下册我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如一些交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
通过上一节课的学习我们知道：等腰三角形的两底角相等以及等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，那么等腰三角形底角的平分线、两腰上的高具有怎样的性质呢？等边三角形各角之间有什么关系呢？这就是本节课要学习的知识.
探究新知
一、预习新知
（阅读教材P5～P6的内容，回答下面问题）
1．等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高线相等；等腰三角形两腰上的中线相等．
2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.
二、合作探究
问题1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
【互动】要证BD=CE，可通过证明三角形全等来解决.
证明：∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB（等边对等角），
∵ BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ ∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.
∴ ∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵ ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
【互动】 等腰三角形两腰上的高呢？中线呢？它们是否也具有这样的关系？
【探究】 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：CD=BE.
证明:∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠CEB＝∠BDC＝90，∴∠EBC＝∠DCB.
在△BEC和△CDB中，
∴△BEC≌△CDB，∴CD＝BE.
同样，我们可通过证三角形全等来证明两腰上的中线相等.
【总结】(学生总结，老师点评)等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
问题2 证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180(三角形的内角和等于180)，
∴∠A=∠B=∠C=60．
三、新知应用
例 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40，BE＝DE，求∠CED的度数．
【探索】(引发学生思考)由△ABC是等边三角形可以得到哪些结论？如何利用这些结论求∠CED的度数
【解】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60.
∵∠ABE＝40，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20.
∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40.
【总结】(学生总结，老师点评)等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常常应用在求三角形角的度数的问题上，所以必须熟练掌握．
课堂练习
1．如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为(　 　)
A．120　 B．135　　
C．145　 D．150
第1题图 第2题图
2．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是(　 　)
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确　 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确　 D．仅①和③正确
3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40，则此等腰三角形的顶角为 .
4．如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20，求∠α的度数．
5．如图所示，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数．
拓展提升
如图所示，已知等边△ABC，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.
【探索】要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．
【总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以利用三角形全等得到．此外，要明确等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．
参考答案
1.D 2.A 3.50或130
4.解：如题图，过点C作CE∥m.∵l∥m，∴l∥m∥CE，∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20.在等边三角形ABC中，∠ACB＝60，∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60，∴∠α＝40.
5.解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵ AB=BC,∠ABC=∠C，BM＝CN，∴△AMB≌△BNC，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60.
拓展提升
证明：如题图，连结BD.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60.∵D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD＝30.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30，∴∠DBC＝∠E＝30.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90.在△DMB和△DME中，∵ ∠DBC＝∠E，∠DMB＝∠DME，DM=DM,∴△DMB≌△DME，∴BM＝EM.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1．等腰三角形两底角的平分线相等，等腰三角形两腰上的高相等，等腰三角形两腰上的中线相等．
2．等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.
布置作业
请完成教材习题1.2
板书设计
1　等腰三角形
第2课时　等边三角形的性质
问题1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等
等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
问题2 证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.
例 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40，BE＝DE，求∠CED的度数．