1.1等腰三角形（第4课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

1.1 等腰三角形（第4课时 等边三角形的判定及含30角的直角三角形的性质）
教学目标
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理;
2.掌握含有30°角的直角三角形的性质及其证明，并能利用这些定理解决一些简单的问题．
教学重点难点
重点：等边三角形的判定定理.
难点：含30°角的直角三角形的性质及其应用．
教学过程
复习回顾
等边三角形有哪些性质？
1.等边三角形的三条边都相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60
环节1　自学提纲，生成问题
探究新知
一、预习新知
（阅读教材P10～P12的内容，回答下面问题）
1．三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
3．下列三角形：①有两个角等于60；②有一个角等于60的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　D　)
A．①③　 B．②③
C．①②　 D．①②③
二、合作探究
问题1 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
【互动】老师提问等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及三角形三个内角的数量关系.
【总结】结合等腰三角形的判定定理，我们可得出等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.
【互动】你能用学过的知识来证明这两个定理吗？
【探索】已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： △ABC是等边三角形.
证明：∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴ AB=AC=BC.
∴ △ABC是等边三角形.
已知： 如图，若AB=AC , ∠A= 60.
求证： △ABC是等边三角形.
证明：∵ ∠A= 60 ，
∴∠B+∠C＝120.
∵AB=AC，
∴∠B＝∠C＝60.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
∴△ABC是等边三角形
【互动】若AB=AC , ∠B=60. 你能证明 △ABC是等边三角形吗？试试看.
问题2 用两个含有30角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？
【操作】
(
30
)
【互动】拼出的三角形中有等边三角形吗？说说你的理由？由此你想到，在直角三角形中, 30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
【猜想】如图1，在△ABC中,∠ACB=90，∠A=30，则有BC=AB.
图1 图2
证明：如图2，延长BC至点D,使CD=BC,连结AD，
∵ ∠ACB＝90，∠BAC＝30，
∴ ∠ACD＝90，∠B=60.
∵ AC=AC，
∴ △ABC≌△ADC（SAS）.
∴ AB＝AD（全等三角形的对应边相等）.
∴ △ABD是等边三角形（有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形）.
∴ AB=BD.
∴ BC＝BD=AB.
【总结】定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90,∠A=30，
∴BC=AB(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，已知AB=AC,∠B=15, CD是腰AB上的高，求证CD=AB.
解：在△ABC中，
∵AB=AC,∠B=15(已知)，
∴∠B=∠ACB=15（等边对等角），
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15+15=30.
∵ CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90，∴CD=AC（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
∴CD=AB．
三、新知应用
例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
【互动】(引发学生思考)证明△ABC是等边三角形应从哪些角度考虑？(边、角)．结合已知条件，本题应从边的角度考虑证明△ABC是等边三角形．
【证明】由a2+c2=2ab+2bc-2b2，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴ a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴ (a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴ a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴ a＝b＝c，
∴ △ABC是等边三角形．
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，求AB的长度.
解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90，∴∠ACD＝∠B＝30，
∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm，即AB的长度是12 cm.
【总结】(学生总结，老师点评)运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
课堂练习
1．在等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为(　　)
A．120　 B．130　　
C．150　 D．160
2.已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
3．如图所示，P，Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．
4.如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
参考答案
1.A
2.证明：∵ AB=BC，
∴ △ABC是等腰三角形.
又∵∠CDE=120，DF平分∠CDE，
∴ ∠EDF=∠FDC=60.
又∵DF∥BA，
∴ ∠FDC=∠ABC=60，
∴ △ABC是等边三角形.
3.解：∵PA＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形，
∴∠APQ＝∠PQA＝∠QAP＝60.
∵PA＝PB，∴∠B＝∠PAB.
又∵∠B＋∠PAB＝∠APQ＝60，∴∠PBA＝∠PAB＝30.
同理，∠QAC＝30，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30＋60＋30＝120.
4.解：△ABC是等边三角形．证明如下：
∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.
又∵∠ECB＝∠CED＋∠D，
∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D，
∴∠ECB＝2∠CBE.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90.
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180，
∴∠ECB＋∠EBC＋90＝180，
∴∠ECB＝60.
又∵AB＝BC，∴ △ABC是等边三角形．
课堂小结
1.等边三角形的判定:
有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
2.特殊的直角三角形的性质:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半．
布置作业
请完成教材习题1.4
板书设计
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定及含30角的直角三角形的性质
1.等边三角形的两个判定：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.
2.定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30, 那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90,∠A=30，
∴BC=AB．
例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠B＝30，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，求AB的长度.