1.3直角三角形全等的判定 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共23张PPT)
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
第1章 直角三角形
学习目标
1
2
探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）
会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）
新课导入
想一想：
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
SSS,SAS,ASA,AAS
A
B
D
E
F
（3）若∠A=∠D， AC=DF ，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”）,根据 .（用简写法）
如图，Δ与ΔDEF是直角三角形。
C
全等
ASA
（4）若∠A=∠D ，AB=DE ，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”）,根据＿＿＿.（用简写法）
全等
（1）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则ΔABC与ΔDEF （填“全等”或
“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
（2）若BC=EF，AC=DF ，则 ΔABC与ΔDEF （填“全等”或“不全等”），根据＿＿＿.（用简写法）
全等
全等
SSS
SAS
AAS
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.
但如果这个三角形是直角三角形，会不会有什么不同呢？
A
45°
B
B′
C
10cm
8cm
8cm
试一试：以10cm，8cm为三角形的两边，长度为8cm的边所对的角为45°，动手画一画，你发现了什么？
△ABC 的形状与大小是唯一确定的吗
知识讲解
探究：
直角三角形中，如果满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
E
F
C
试一试： 任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
C
B
A
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
C
B
A
步骤：
⑴ 作∠=90°;
C＇
M
N
⑵ 在射线M上截取线段
=CB;
M
N
B＇
⑶ 以为圆心, AB为半径画弧，交射线于点;
C＇
M
N
B＇
A＇
⑷连接.
C＇
M
N
B＇
A＇
C＇
B
C
A
A'
B'
C'
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∵AB=A'B',AC=A'C'，
根据勾股定理，
BC2=AB2－AC2，
B'C'2=A'B'2－A'C'2，
∴BC=B'C'.
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明猜想
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
在Rt△ABC和Rt △DEF中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）.
几何语言：
AB=DE，
BC=EF (或AC=DF )，
A
B
D
E
F
C
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“SS”指的是斜边和一直角边，而“A”指的是直角.
知识要点
“斜边、直角边”定理
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；
（ ）
(3)一个锐角和斜边对应相等； （ ）
(4)两直角边对应相等； （ ）
(5)一条直角边和斜边对应相等． （ ）
HL
AAS或ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
例1
证明：
如图，AB =CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE =CF.
求证：BF =DE.
A
F
C
E
D
B
在Rt△ABF 和Rt△CDE 中,
∵ AE=CF,
∴AF=CE.
又∵ AB=CD,
∴ Rt△ABF ≌Rt△CDE(HL),
∴ BF=DE.
例2
证明：
如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD.
求证：BC﹦AD.
∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD ，
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
例3
证明：
如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),
∴BD＝BF,
∴BD－CD＝BF－EF,即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法．所以直角三角形全等的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
随堂训练
1.
如图，∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
2.
已知：如图，△ABC中，ABAC，AD是高.
求证:BDCD，∠BAD∠CAD.
A
B
C
D
证明：∵AD是高,
∴∠ADB∠ADC=90°.
在Rt△ADB 和Rt△ADC 中,
AB=AC,
AD=AD,
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC,（HL）
∴BDCD,∠BAD∠CAD.
3. 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
P
D
E
F
Q
∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
分析：
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
Q
证明：∵、DQ分别是△ABC 和△DEF 的高,
∴∠APB=∠DQE=90°.
在Rt△ABP 和Rt△DEQ 中,
AB=DE,
AP=DQ,
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ ,(HL)
∴ ∠B=∠E.
在△ABC 和△DEF 中,
∠BAC=∠EDF,
AB=DE,
∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF. (ASA)
4.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△PQA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
课堂小结
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
SSS