1.4角平分线的性质(第1课时 角平分线的性质定理） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共21张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
第1课时 角平分线的性质
学习目标
1
2
能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
知识回顾
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.
O
B
A
C
想一想：
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
新课导入
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗？
想一想：
证明:
在△ACD 和△ACB 中,
AD=AB,（已知）
DC=BC,（已知）
CA=CA,（公共边）
∴ △ACD ≌△ACB,（SSS）
∴∠CAD ∠CAB,（全等三角形的对应角相等）
∴AC 平分∠DAB.（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？ （不用角平分仪或量角器）
知识讲解
思考：角平分线有什么性质呢？
1.测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系， 写出结论：____________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
如图，OC是∠的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：一个点在一个角的平分线上.
结论：它到角的两边的距离相等.
已知：OC是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
C
验证猜想
∵PD⊥OA，PE⊥OB,
证明：
∴∠PDO∠PEO= 90°.
在△PDO和△PEO中,
　
∴ △PDO≌△PEO（AAS）, 　
∠PDO＝∠PEO,
∠AOC＝∠BOC,
OP=OP,
∴ PD＝PE.
已知：是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
C
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应满足的条件：（1）角的平分线；
（2）点在角平分线上；
（3）垂直距离.
书写格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
总结
例1
已知:如图,在△中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.
B
A
E
D
C
F
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.
证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF , ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
B
A
E
D
C
F
直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处
C.三处 D.四处
【解析】由于没有限制在何处选址,根据题目要求到三条公路的距离相等，中转站需在内、外角的平分线的交点处，即A、B、C、D 处各有一个.
A
D
C
B
例2
D
A
B
C
P
如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（1）求△APB的面积；
D
（2）求 PDB的周长.
·AB·PD=28.
解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB,
由角平分线的性质，
可知PD=PC=4，
.
例3
（2）在Rt△APC和Rt△APD中，
PC=PD，AP=AP，
∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)，
∴AC＝AD=BC.
随堂训练
1.如图，是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE =______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
2.
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
解析：过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
3.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
4.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
P
课堂小结
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等