1.4角平分线的性质(第2课时 角平分线的性质定理的逆定理） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共21张PPT)
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
学习目标
1
2
会应用角的平分线的性质定理的逆定理解决相关问题（难点）.
掌握角的平分线的性质定理的逆定理（重点）.
知识回顾
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴PD = PE.
P 是角平分线上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB，
书写格式：
B
A
D
O
P
E
C
知识讲解
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ 平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ PD= PE .
几何语言：
猜想:
思考：这个命题正确吗？
角平分线的性质定理的逆定理
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP，
PD=PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴∠AOP ∠BOP
归纳总结
结论：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应满足的条件：
（1）点在角的内部.
（2）该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE,
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
例1
如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF.
求证：AD 是△ABC 的角平分线.
A
B
C
E
F
D
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED =∠CFD =90°.
∵D 是BC 的中点,
∴BD =CD.
在Rt△BED 和Rt△CFD 中，
BD=CD,
BE=CF,
∴Rt△BED ≌Rt△CFD（HL）,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD 是△ABC 的角平分线.
例2
已知：如图，BE⊥AC 于E， CF⊥AB 于F，BE、CF 相交于点D， BD=CD .
求证： AD 平分∠BAC .
A
B
C
F
E
D
证明：∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠DEC =∠DFB =90°.
在△DEC 和△DFB 中,
∠DEC =∠DFB,
∠EDC =∠FDB,
CD=BD,
∴△DEC ≌△DFB（AAS）,
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗？
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三角形三边的距离均相等.
A
B
C
P
E
F
G
M
N
证明：过点P作PF 、PE、PG分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为F、E、G,
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PF=PE.（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PG.
∴ PF=PE=PG.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等.
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
解析：由已知，到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，
AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
故∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
如图，在△中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
例3
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
随堂训练
2.
填空：
(1) ∵∠1=∠2,DC⊥AC, DE⊥AB,
∴___________.
( ______________________________________ )
(2) ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE,
∴____________________________________
( ________________________________________________ )
A
C
D
E
B
1
2
∠1= ∠2（AD 是∠BAC 的角平分线）.
DC=DE
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.
在角平分线上的点到角的两边的距离相等.
3.如图所示，已知△ABC 中，PE∥AB 交BC 于点E，PF∥AC 交
BC 于点F，点P 是AD上一点，且点D 到PE 的距离与到 PF 的距离
相等，判断AD 是否平分∠BAC，并说明理由.
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等，
∴点D 在∠EPF 的平分线上.
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
4.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F.
求证：点F 在∠DAE 的平分线上.
证明：
过点F 作FG⊥AE 于点G，FH⊥AD 于点H，FM⊥BC 于点M.
∵点F 在∠BCE 的平分线上， 　　　　FG⊥AE，FM⊥BC，
∴FG＝FM.
又∵点F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂小结
角的平分线的性质定理的逆定理
1.内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.作用：证明角相等，判定一条射线是角平分线.