1.3线段的垂直平分线（第2课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

1.3 线段的垂直平分线（第2课时 三角形三边的垂直平分线及尺规作等腰三角形）
教学目标
1．理解并掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
2．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．
3．已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形．
教学重点难点
重点：掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理.
难点：已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形．
教学过程
复习回顾
【问题】（学生表述，老师指导）线段AB垂直平分线的作法.
作法：
1.分别以点A和B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C和D.
2.作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
探究新知
今天我们主要学习两个方面的问题，先学习第一个问题:三角形三边的垂直平分线的交点问题.
【问题】求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
【互动】（小组讨论）请写出这一问题的已知和求证，并探究证明过程.
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
即边AC的垂直平分线经过点P.
【互动】（学生动脑）同学们，这个可以作为结论应用哦，试用符号语言表述出来.
符号语言：
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线,
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC.
【问题】（小组讨论）三角形的三边垂直平分线的交点都在三角形的内部吗？
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
【探究】（小组合作，学生动手作图，老师指导）
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
【总结】（师生互动，总结结论）
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
【思考】（激发学生思考）下面我们学习本节的第二个问题，已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
【探究】（学生小组讨论，动手作图，并归纳作法，可让学生作图演示，老师指导）
【例题】已知一个等腰三角形的底边和底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：
1.作线段BC＝a；
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
3.在射线DM上截取线段DA，使DA=h；
4.连接AB，AC.
△ABC即为所求作的等腰三角形.
提示：满足条件的点A的位置有两个.
【思考】（激发学生兴趣）若已知直线l和l上一点P,如何利用尺规作l的垂线,且使它经过点P？
【探究】(探究作法，让学生说出作法的依据，老师指导)
【思考】（开发学生思维，深入理解作法原理）如果点P在直线l外呢？让学生交流一下，并作图演示.
课堂练习
1.已知三角形的一条边及这条边上的高,能作出_____个三角形, 所作出的三角形___都全等.
2.已知等腰三角形的底及底边上的高,能用尺规作出____个等腰三角形.
3.已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC,
求证：点O在BC的垂直平分线上.
4.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB
D.以上结论均不对
5.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.底边AB=a的等腰△ABC有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的______________上．
7.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线.正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为___________ .
参考答案
1. 无数 不
2. 两
3.证明：连接OB（图略）.
∵ ON是AB的垂直平分线，∴ OA=OB.
∵ OA=OC，∴ OB=OC.
∴ 点O在BC的垂直平分线上.
4.B 5.C 6.无数 垂直平分线 7.A
8. 20°或70°
课堂小结
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
布置作业
1.习题1.8题1、题2.
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在已作的图形中，若l分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，连接BE.求证：EF＝2DE.
板书设计
3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线及尺规作等腰三角形
1. 三角形三条边的垂直平分线 相交于一点 ，并且这一点到 三个顶点 的距离相等.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
2.已知等腰三角形的底边a和底边上的高h，求作这个等腰三角形.