1.4角平分线（第1课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

1.4 角平分线（第1课时 角平分线的性质定理和判定定理）
教学目标
1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．
教学重点难点
重点：会证明角平分线的性质定理及判定定理
难点：会运用角平分线的性质定理及判定定理解决有关的数学问题.
教学过程
导入新课
【问题】你能利用尺规作出角平分线吗 动手作一下.
探究新知
【问题】（激发学生思考）你知道角平分线上的点有什么性质吗
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
请给出证明.
【互动】（小组讨论，教师引导）试写出上面整个结论的已知和求证，试写出证明过程.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
【探索】（小组讨论）探索证明思路，试写出证明过程.
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，如何证明两三角形全等呢？
如图，∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E，
∴∠PDO=∠PEO=90.
∵∠1=∠2,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE(AAS),
∴ PD=PE.
【归纳】(老师引导总结)这个性质定理是用来证明两条线段相等的依据之一，一定要注意是两条“垂线段”相等.
【总结】（师生互动）该性质定理的几何语言该如何表述？
如图，∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别是D,E，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
【探究】（学生思考讨论）你能写出性质定理“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗
逆命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
【问题】它是真命题吗 如果是，该如何写出已知和求证？
它是真命题.
已知:如图所示,PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
【探究】（学生思考，探究证明思路）你会证明吗？
证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴△POD和△POE都是直角三角形.
∵PD=PE,OP=OP,
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL),
∴ ∠POD=∠POE,
∴ OC是∠AOB的平分线，点P在∠AOB的平分线上.
【总结】（老师引导）通过上面的证明，我们得到角平分线的性质定理的逆命题是真命题，所以该逆命题可以称为角平分线性质定理的逆定理，也就是角平分线的判定定理.
判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
【互动】（师生互动）用几何语言如何表示该定理内容？
如图,∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)
【总结】（老师提示）这个结论是用来证明点在角平分线上(或直线经过某一点)的根据之一.
【补充】（老师提示）学习了角平分线的性质定理和判定定理，在以后的学习中，遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
【互动】（小组讨论）下面我们通过例题来看下定理的应用吧.
【例题】 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
课堂练习
1.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)
A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD
2.如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_________.
3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.
4.如图,一目标在A区,到公路a、铁路b距离相等,离公路与铁路的交叉处500 m.在图上标出它的位置(比例尺1:20 000).
参考答案
1.B 2.30°
3.作图略.提示：作∠AOB的平分线、线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求.
4.作图略.提示：作出角平分线，在角平分线上距a，b交点2.5cm处即为所求.
课堂小结
1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E ,∴PD=PE.
2.角平分线的判定定理
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,
∴点P在∠AOB的平分线上.
布置作业
教材习题1.9 题2、题3.
板书设计
4 角平分线
第1课时　角平分线的性质定理和判定定理
1.角平分线的性质定理
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E ,∴PD=PE.
2.角平分线的判定定理
∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,
∴点P在∠AOB的平分线上.