2.5一元一次不等式与一次函数（第1课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

2.5 一元一次不等式与一次函数（第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系）
教学目标
1．让学生了解一元一次不等式与一次函数的关系．
2．让学生能根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较．
3．通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合，培养学生的数形结合意识．
教学重点难点
重点：会利用函数图象解一元一次不等式．
难点：一元一次不等式与一次函数的关系．
教学过程
导入新课
1．解不等式2x-5＞0，并把他的解集在数轴上表示出来．
学生利用前面所学的知识，自主解答.
2.作出一次函数y=2x-5的图象.
观察图象回答下列问题:
(1)x取哪些值时,y＞0
(2)x取哪些值时,y＜0
(3)x取哪些值时,y＞3
学生回忆一次函数的有关知识，自主解答.
提出问题：能否将上述“关于函数值的问题”,改为“关于x的不等式的问题”？（引出本课课题）
探究新知
探究一元一次不等式与一次函数的关系.
学生分组讨论上述问题，得出结论：
因为y=2x–5，所以，将(1)～(3)中的y换成2x-5,则原题“关于一次函数的值的问题”就变成了“关于一元一次不等式的问题”，即上述问题可写成：
(1)x取哪些值时,2x-5＞0
(2)x取哪些值时,2x-5＜0
(3)x取哪些值时,2x-5＞3
【互动】（小组讨论）反过来想一想能否把“关于一次不等式的问题”变换成“关于一次函数的值的问题”？
【归纳】（老师点评总结）可以.
即：(1)解不等式2x-5＞0，可看作求一次函数y=2x-5的函数值大于0的自变量的取值范围.
(2)“当自变量x取何值时，函数y=2x-5的值大于0”可看作求不等式2x-5＞0的解集.
观察图象还可发现：
(1)当x＞2.5时，这条直线上的点在x轴的上方，
即这时y=2x-5＞0.
所以2x-5＞0的解集为x＞2.5.
(2)当x＜2.5时，这条直线上的点在x轴的下方，
即这时y=2x-5＜0.
所以2x-5＜0的解集为x＜2.5.
由此可得：一元一次不等式与一次函数的关系.
1.从数的角度看：
2.从形的角度看：
【互动】（小组讨论）如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y＜0 你解答此道题,可有几种方法
【归纳】（老师点评总结）方法一：将函数问题转化为不等式问题.
即解不等式-2x-5＜0，
-2x＜5，
x＞-2.5.
方法二:图象法.
作一次函数y=-2x-5的图象(略)，由图易知，
当x＞-2.5时,y＜0 .
【互动】（小组讨论）兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m．列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流．
请大家先画出图象，然后讨论回答：
【归纳】（老师点评总结）设兄弟俩赛跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得y1=4x；y2=3x+9.
思路一：函数图象如图.
从图象上来看：
（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（3）弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m；
（4）从图象上直接可以观察出（1）（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x，y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短．同理可知谁先跑过100 m．
思路二：解不等式.
哥哥:y1=4x 弟弟:y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面 即4x＜3x+9 ,解得x＜9.
(2)何时哥哥跑在弟弟前面 即4x＞3x+9,解得x＞9.
(3)谁先跑过20 m 谁先跑过100 m
即4x=20,解得x=5；3x+9=20,解得x=.所以弟弟先跑过20 m.
4x=100,解得x=25；3x+9=100,解得x=.所以哥哥先跑过100 m.
课堂练习
1．一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为(　　)
A.x≤2 B.x<2
C.x≥2 D.x>2
2．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a>0；③当x>3 时，y1A．0　 B．1　　
C．2　 D．3
3.一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 8 5 2 －1 －4 …
那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是 .
4.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:
(1)y>0 　 (2)y=0 　 (3)y<0
5.已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
6.一艘轮船以20 km/h的速度从甲港驶往160 km远的乙港,2 h后,一艘快艇
以40 km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程
与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列
问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面
(2)何时快艇行驶在轮船的前面
(3)哪一艘船先驶过60 km 哪一艘船先驶过100 km
参考答案
1.A 2.C 3.x≤1
4.解：(1)令-3x+12>0,得x<4,
即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.
(2)令-3x+12=0,得x=4,
即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.
(3)令-3x+12<0,得x>4,
即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.
5.解：(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),∴4=k+3,∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是y=x+3.
(2)由(1)得关于x 的不等式为x+3≤6,解得x≤3.
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
6.解:设轮船行驶的路程为y1 km,快艇行驶的路程为y2 km,轮船行驶的时间为x h,
则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示:
由得即两函数图象的交点为A(4,80).
观察图象可得:
(1)轮船行驶4 h前,轮船行驶在快艇的前面.
(2)轮船行驶4 h后,快艇行驶在轮船的前面.
(3)轮船先驶过60 km,快艇先驶过100 km.
课堂小结
布置作业
完成教材习题2.5
板书设计
一元一次不等式与一次函数的关系
1.从数的角度看：
2.从形的角度看：