4.1 认识三角形（第3课时）教学课件 北师大版中学数学七年级（下）

(共16张PPT)
第 四章 三角形
第四章 三角形
1 认识三角形
第3课时 三角形的中线和角平分线
学 习 目 标
1.了解三角形的角平分线、中线的概念并掌握其性质，会用工具准
确画出三角形的角平分线、中线; （重点）
2. 学会用数学知识解决实际问题的能力.（重点）
新课导入
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
A
B
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
O
B
A
★ 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.如图，是△的边上的中线.
定义
中线
中点
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
(或为的中点）
知识讲解
问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？
发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
O
O
O
拓展： 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例1 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
7cm
解析：因为△ABD的周长＝ AB+BD+ AD ，
△ADC的周长＝ AC + DC + AD ，
所以△ABD的周长△ADC的周长
＝（ AB+BD+ AD ）（ AC + DC + AD ）
＝ ABAC=2cm.
又因为AC＝5cm，
所以AB＝7cm.
★ 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图， 是△ 的角平分线， 或∠ ＝∠＝∠且点在边上.
1
2
A
C
D
∠1=∠2
B
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗
定义
不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线
问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
A
B
C
D
E
F
发现：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心.
问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？
解：因为 平分∠，∠，
所以∠.
因为∠+∠+∠，∠＝50°，
所以∠ ＝ 180°-50°-42°＝88° .
因为 平分∠，
所以∠＝∠.
例2 在△ 中，已知∠ ＝ ，分别是∠，∠ 的平分线，相交于点. ∠，求∠ 的度数.
2.如图所示，在△中，分别是△，△的中线，△ 的面积是4 ，那么△ 的面积是（　　）
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
随堂训练
1.如图,在△ABC中, ∠1=∠2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
×
×
√
B
解：设，则.
（1）当时，有，
所以. 所以，.
（2）当，时，有，
解得，所以
所以.
因为，所以此时不能构成三角形.
综上所述，等腰三角形的腰长为8，底边长为2.
3.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝ AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成12和6 两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长.
4.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
课堂小结
三角形重要线段
中线
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心
一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心