2.5.2矩形的判定 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共23张PPT)
第2章 四边形
2.5 矩形　
第2章 四边形
2.5.2 矩形的判定
学 习 目 标
1.探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是
矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.（重点）
2.会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形.（难点）
问题2：小华利用周末的时间，为自己做了一个相框，你能帮助小华检验一下他所做的相框是矩形吗？
问题1：矩形有哪些性质？
矩形的对边平行且相等．
矩形的四个角为直角．
矩形的对角线互相平分且相等．
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形．
新课导入
平行四
边形
一个角
是直角
∟
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
矩形
矩形的判定方法（定义法）
知识讲解
四边形
四个角
是直角
问题1：有一个角是直角的四边形是矩形吗？
问题2：有两个角是直角的四边形是矩形吗？
问题3：有三个角是直角的四边形是矩形吗？
探究一
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．
证一证
矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
总结
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例1 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°.
A
B
D
C
H
E
F
G
由矩形的性质“矩形的两条对角线相等且互相平分”我们可以猜想：
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
这个猜想成立吗？
探究二
1.任意作两条相交的直线，交点记为O；
2.以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3.顺次连接所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
做一做
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：在□ ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∵AB∥CD，
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
证一证
对角线相等的四边形是矩形吗？
对角线相等的四边形不一定是矩形.
议一议
如等腰梯形的两条对角线相等，但它不是矩形.
总结
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
你能帮助小华检验一下他所做的相框是矩形吗？用什么方法？为什么？
1、测量相框的对角线是否相等来判断所做的相框是不是矩形．
因为对角线相等的平行四边形是矩形．
2、测量相框的三个内角是不是直角来判断所做的相框是不是矩形．
因为有三个角是直角的四边形是矩形．
例2 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=40°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∵∠OAD=40°，
∴∠OAB=50°.
例3 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证．
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO .
∵AE=BF =CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形 ．
∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）．
1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
B．∠A＝∠B＝∠D＝90°
C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90°
D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD，⑤AC＝BD，⑥∠A＝90°.从这6个条件中选出(直接填写序号)____个，能使四边形ABCD是矩形．
C
随堂训练
答案不唯一，只要写出一组即可 ①②⑥，①②⑤，①③⑤，①③⑥，②④⑤，②④⑥.
3．已知：如图，AB＝AC，AE＝AF，且∠EAB＝∠FAC，EF＝BC.求证：四边形EBCF是矩形．
证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC，
∴△AEB≌△AFC.
∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠EBC＝∠FCB.
∵EB＝FC，EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC＋∠FCB＝190°.
∴∠EBC＝∠FCB＝90°，∴四边形EBCF是矩形．
4.如图，四边形ABCD是由两个全等正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，
∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝　∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
课堂小结
矩形的判定
定义法
判定定理1
判定定理2
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．