2.6菱形（第1课时 菱形的性质） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共23张PPT)
第2章 四边形
2.6 菱形　
第2章 四边形
2.6.1 菱形的性质
学 习 目 标
1.理解菱形的概念及菱形与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（难点）
3.能用菱形的性质进行简单的计算和推理.(重、难点）
平行四边形有哪些特征 矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等
知识回顾
新课导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
做一做
结论：
这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？
四边形的四条边相等
新课导入
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.几何语言：
A
B
C
D
如图, 对于平行四边形ABCD, 若AB=BC,
则这个平行四边形叫做菱形.
注意：定义中的“平行四边形”不能写成“四边形”.
知识讲解
菱形的定义
菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还有哪些性质？
菱形的性质
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
O
D
C
B
A
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？
知识讲解
垂直
菱形除了具有平行四边形一切特征外,它还有什么特殊特征？
菱形
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直
轴对称图形
A
B
C
D
菱形的特征
知识讲解
命题：菱形的四条边都相等
已知：如图,四边ABCD是菱形，
求证：AB=BC=CD=AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等）.
∵ AB=BC，
∴ AB=BC=CD=AD.
AB=BC.
D
A
B
C
知识讲解
已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
A
B
C
D
O
∴AB=AD ，BO=DO，
∴AC⊥BD（等腰三角形的“三线合一”）.
求证：AC⊥BD.
命题：菱形的对角线互相垂直.
知识讲解
（1）对称性：菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；也是轴对称图形，对称轴有两条，对角线所在的直线是它的对称轴.
（2）边：菱形的四条边都相等.
（3）对角线：菱形的对角线互相平分且垂直.
总 结
A
B
C
D
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形.
在菱形中，
所以180 (两直线平行同旁内角互补).
又因为，
所以∠60 .
在菱形中，
解：
(菱形的四条边都相等).
所以在△中，∠BAC=∠BCA(等边对等角).
又因为∠B+∠BAC+∠BCA=180°(三角形内角和定理)，
所以∠BAC=∠BCA=∠B=60°.
所以AB=BC=AC(等角对等边).
即△ABC是等边三角形.
因为，
例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．
解:在菱形ABCD中，
又在△ABC中，AB＝BC，
∠BAO＝ ∠BAD＝ ×120°＝60°
所以∠BCA＝∠BAC＝60°(等边对等角)，
∠ABC＝180°∠BCA∠BAC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，
故(cm)．
(菱形的每一条对角线平分一组对角)．
A
D
C
B
O
所以AB=BC=AC(等角对等边),
知识讲解
例3 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
A
B
C
D
O
E
例题讲解
∵四边形ABCD是菱形，
解：
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即ΔADC和Δ ABC都为等边三角形，
∴∠ACD= ∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°.
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能. 过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
菱形的面积
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半.
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
且菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
例4
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为____和____.
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则菱形的周长和面积分别是______和_____．
60°
随堂训练
120°
20cm
24 cm2
3.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
4.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm.
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角