2.7正方形 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共25张PPT)
第2章 四边形
2.7 正方形　
第2章 四边形
学习目标
1.掌握正方形的概念、性质和判定；（重点）
2.经历正方形性质和判定的探究过程；（重点）
3.能利用正方形的性质和判定解决问题．（难点）
1.矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
邻边相等
矩形
正方形
新课导入
2.菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
新课导入
探究：
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分
正方形既能由矩形变换得到，又能由菱形变换得
到，那么正方形具有哪些性质？
A
B
C
D
知识讲解
1.正方形的性质
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形ABCD是平行四边形,
∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义），
正方形ABCD是菱形(菱形的定义),
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，
AB= BC=CD=AD.
知识讲解
正方形的对角线相等且互相垂直平分
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
知识讲解
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
归纳：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分
数学表达式：
在正方形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=∠D =90°，
AB= BC=CD=AD,
AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
知识讲解
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
A
B
C
D
知识讲解
例1 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝ ，
面积为AD2＝8.
想一想：
①有一个角是直角的平行四边形;
②有三个角是直角的四边形;
③对角线相等的平行四边形.
①有一组邻边相等的平行四边形;
②四条边都相等的四边形;
③对角线互相垂直的平行四边形.
菱形的判定方法：
矩形的判定方法：
2.正方形的判定
知识讲解
从对角线角度如何判定一个四边形是正方形呢？
对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
想一想：
知识讲解
探究：
如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，∴ AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
知识讲解
探究：
如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC
是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
知识讲解
正方形的判定
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
知识讲解
知识讲解
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌
△DNM，得出四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
例1
知识讲解
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.
知识讲解
例2
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形.理由如下：
∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC.
∵AF=AE，∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF.
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形AFBE.
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是 ( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
C
2．正方形面积为36，则对角线的长为( )
A．6 B.6 C．9 D．9
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 ( )
A．14 B.15 C．16 D．17
B
C
随堂训练
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC , 对角线BD平分
ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,
垂足分别为M、N.
(1) 求证： ADB= CDB;
(2) 若 ADC=90 ,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2.
又∵AB = BC,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°，
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
课堂小结