3.3中心对称教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

3.3 中心对称
教学目标
1．认识中心对称和中心对称图形．
2．通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解平移、旋转及中心对称等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系．
3．运用讨论、交流等方式，发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力．
教学重点难点
重点：理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形.．
难点：会运用掌握中心对称及中心对称图形的性质解决实际问题．
教学过程
复习巩固
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．
2.旋转的性质：
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等．
导入新课
我们学习了旋转的定义与性质，知道把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，如果把一个图形绕点旋转180，这样的图形运动是本节课学习的内容．
探究新知
探究点一　中心对称
活动1　小组讨论(师生互学)
【问题1】（学生交流）
观察下图，图（1）经过怎样的运动变化就可以与图（2）重合？你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流.
　　
(
（
1
）
（
2
）
) (
（
1
）
（
2
）
)　　　　　　　　
学生回答：
图（1）以一定点旋转180°就可以与图（2）重合.
【总结】
中心对称：
如果一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心．
【提示】
“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.
示例：如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180 ，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O对称或中心对称，点O就是对称中心.
探究点二　中心对称的性质
活动2　小组讨论(师生互学)
【问题2】
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系
(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′；（2）△ABC≌△A′B′C′.
【总结】
中心对称的性质 ：
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
2.中心对称的两个图形是全等形.
活动3　探究应用 (教师引导，学生互学)
【例1】如图，已知△ABC和△A′B′C′成中心对称，画出它们的对称中心．
【探索思路】(引发学生思考)△ABC和△A′B′C′成中心对称，即从整体上看，此图是一幅中心对称图案，所以本题有两种解法．
【解】(方法一)根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连结BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则O为对称中心．如图．
(方法二)B、B′是一对对应点，连接BB′，找出BB′的中点O，则点O即为对称中心．如图．
【题后总结】(学生总结，老师点评)利用中心对称的特征，找准对应点．当两个图形成中心对称时，通过直接观察的方法找对应点；如果直观体现不明显，可采用测量方法找对应点．
【课堂练习】如图，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
(
A
C
B
D
E
O
)
分析：要画出五边形ABCDE关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D，E五点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.
解：如图，连接BO并延长到B'，使得OB'=OB；
连接CO并延长到点C'，使得OC'=OC；
连接DO并延长到点D'，使得OD'=OD；
顺次连接AD' ，D'C'， C'B'，B'E.
图形AD'C'B'E就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形.
探究点三　中心对称图形
【问题3】
将下面的图形绕O点旋转180°，你有什么发现？
　　　　　　（1）线段
　　　（2）平行四边形
结论：
都与原图形完全重合.
【思考】（学生交流）上面的课堂练习中，得到的图形，又具有什么特征.
（师生互动）
【总结】
中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
探究点四　中心对称的性质
【议一议】（学生交流）
中心对称图形具有怎样的性质？
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
.
【注意】中心对称图形是指一个图形.
【归纳】
中心对称与中心对称图形的联系与区别：
联系
若把中心对称图形的两部分分别看作一个图形，则它们成中心对称.若把成中心对称的两个图形看作一个整体，则为中心对称图形.
区别
中心对称：（1）针对两个图形而言的；（2）是指两个图形的（位置）关系；
（3）对称点在两个图形上；（4）对称中心在两个图形之间.
中心对称图形：（1）针对一个图形而言的；；（2）是指具有某种性质的一个图形；（3）对称点在一个图形上；（4）对称中心在图形本身上或图形内部.
活动3　探究应用 (教师引导，学生互学)
【例2】下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
【探索思路】(引发学生思考)根据轴对称图形和中心对称图形的概念和性质逐一进行判断：选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是中心对称图形，又是轴对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
【答案】B
活动4　 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，长方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
【探索思路】由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，则图中阴影部分的三个三角形可以转化到Rt△ADC中，于是此面积即可求得．
解：因为矩形ABCD是中心对称图形，
所以△BOF与△DOE关于点O成中心对称，
所以图中阴影部分的三个三角形就可以转化到Rt△ADC中．
又因为AB＝2，BC＝3，
所以SRt△ADC＝×3×2＝3，即图中阴影部分的面积为3.
【题后总结】(学生总结，老师点评)利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
【课堂练习】
1．观察下列四个平面图形，其中中心对称图形有(　　)
　　　
A．2个　 B．1个　　
C．4个　 D．3个
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
　　　　　　
　　A　　　　　　　　　 B
　　　　　
C　　　　　　　　　D
3. 如图所示，已知长方形的长为10 cm，宽为4 cm，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.20 cm2　　　　　　　B.15 cm2
C.10 cm2　　　　　　　D.25 cm2
4.请你用无刻度的直尺画一条直线把下面的图形分成面积相等的两部分，你怎
样画？
5．如图所示，线段AC、BD相交于点O，且AB∥CD，AB＝CD，此图形是中心对称图形吗？试说明你的理由．
6. 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
　　
　　　　　　　　（2）　　　　　　　　（3）
参考答案：
1. D 解析：第1，2，3个图是中心对称图形.
2.A　　解析：B，C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；D选项是中心对称图形，不是轴对称图形；A选项既是轴对称图形又是中心对称图形.
3.A 解析：根据题意可知，长方形的面积10440(cm2)，再根据中心对称的性质得：图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积4020(cm2).　故选A.
4.解：方法不唯一：如图所示
方法点拨：对于这种由两个中心对称图形组成的复合图形，平分面积时，可以把这个图形进行割补，然后找到它们的对称中心，再过对称中心作直线.
5.解：此图形是中心对称图形．理由如下：由AB∥CD，AB＝CD，可证得△AOB≌△COD，所以此图形是中心对称图形．
6，解：轴对称图形为（1）（2）（3），中心对称图形为（1）（3）.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1．中心对称
如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．
2．中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
布置作业
教材第84页习题3.6
板书设计
3中心对称
1.中心对称
2.中心对称的性质
3中心对称图形
4.中心对称图形的性质
5.中心对称与中心对称图形的联系与区别