4.5一次函数的应用 （第3课时一次函数与一次方程的关系） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共24张PPT)
第4章 一次函数
4.5 一次函数的应用
第3课时 一次函数与一次方程的关系
学 习 目 标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程之间的联系．（重点、难点）
2．会用函数观点解释方程的意义.
新课导入
思考：
问题①：解方程2x+20=0；
问题②：当 x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标；
问题④：问题① ②有何关系？ ① ③呢？
问题⑤ : 能从函数的角度来解一元一次方程 2x+20=0吗？
知识讲解
一次函数与一元一次方程
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题1 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
从函数的角度看：
解一元一次方程
ax +b =k 就是求当函
数（y=ax +b）值为k
时对应的自变量的值．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
探究一
练一练
2.如图，直线y＝ax＋b过点(0，2)和点(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　)
A．x＝2 B．x＝0
C．x＝－1 D．x＝－3
D
1.解方程2x+3=5就是求当y= 时，函数y=2x+3的自变量x的取值.
(0，2)
5
(－3，0)
求一元一次方程
kx+b=0的解
一次函数与一元一次方程的关系
求y=0时一次函数
y= kx+b中x的值
从函数
值看
求一元一次方程
kx+b=0的解
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标
从函数
图象看
探究二
一次函数与二元一次方程
一次函数y = 5 - x的图象如图所示.
（1） 方程x + y = 5 的解有多少个？ 写出其中的几个.
（2） 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，
它们在一次函数y = 5 - x的图象上吗？
无数个
都在
（3） 在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的
坐标满足方程x + y = 5吗？
（4） 以方程x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的
图象与一次函数y = 5 - x的图象相同吗？
都适合
相同
思考1：一次函数与二元一次方程从数的角度看有什么关系？
一次函数
y =5-x
二元一次方程
y +x =5
从方程角度看
从函数角度看
由函数图象的定义可知：
直线上每个点的坐标（x , y）都是这个二元一次方程的解.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
例1 已知一次函数y = 2x + 6， 求这个函数的图象
与x轴交点的横坐标.
（1） 令y = 0， 解方程2x + 6 = 0， 得x = -3.
所以一次函数y = 2x + 6的图象与x轴交点
的横坐标为-3.
解法一
直线y = 2x + 6与x 轴交于点（-3，0），
所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.
画出函数y = 2x + 6的图象（如图4-20），
解法二
图4-20
探究三
一次函数与一元一次不等式（拓展）
问题2 观察下面这几个不等式:
你能类比一次函数和一元一次方程的关系，试着从函数的角度解一元一次不等式吗？
（1）； （2）； （3）.
　　不等式3x+2＞2的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y＞2
时对应的自变量x的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
从函数的角度进行解释：
所以此不等式的解集为x ＞ 0
（1）
（2）3x+2＜0；
　　不等式3x+2＜0的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y ＜0
时对应的自变量x的取值范围.
所以此不等式的解集为x <-
从函数的角度进行解释：
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
　　不等式3x+2＜-1的解集就是
使函数y =3x+2 的函数值y＜-1
时对应的自变量x的取值范围.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
所以此不等式的解集为x＜-1
（3）3x+2＜-1.
从函数的角度进行解释：
　　　能把你得到的结论推广到一般情形吗？
　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c时对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c时对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
从函数的角度看：
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
解：（1）由图象可知，不等式
-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；
不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从函数
值看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
直线y=kx+b在x
轴上方(或下方)
时x的取值范围
从函数
图象看
一次函数与一元一次不等式的关系
随堂训练
1.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在
同一直角坐标系内作出了相应的两条直线l1、l2
如图 ，他解的这个方程组是( )
D
点拨：由图象知l1、l2 的 x 的系数都应为负数，排除 A、
C.又 l1、l2的交点为(2,－2)，代入验证可知只有 D 符合．
2.方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 .
(2,1)
3. 当x 时，直线y=x+2上的点在x轴的下方.
2
2
>2
4. 利用函数图象， 解方程3x - 9 = 0.
-3
O
3
9
6
-3
3
6
9
x
y
解 画出函数y = 3x + 9的图象，如下图所示，
所以方程3x - 9 = 0 的解为x= 3.
直线 y = 3x + 9与 x轴交于点（3，0），
课堂小结
一次函数与一次方程的关系
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x的取值范围
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标