5.4分式方程（第2课时）教学详案--北师大版初中数学八年级（下）

5.4 分式方程（第2课时 分式方程的解法）
教学目标
1.引导学生掌握解分式方程的基本思路和方法.
2.了解分式方程增根产生的原因并能解决与增根有关的问题.
教学重点难点
重点：解分式方程的基本方法和步骤.
难点：检验分式方程的解.
教学过程
复习巩固
1.方程的解：使方程左右两边 相等 的未知数的值叫方程的解.
2.解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
导入新课
【创设情境，课堂引入】
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg,分别求这两块试验田每公顷的产量.
如果设第一块试验田每公顷的产量为kg,那么第二块试验田的产量是 kg.
根据题意,可得方程 ＝.
探究新知
【实践探究，交流新知】
【教师提问】这个方程是我们学过的分式方程，这类方程该如何解呢？
【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃回答.
【示例展示】
解方程＝.
解：方程两边都乘x（x-2），得
x＝3(x-2).
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代入原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边.
所以，x＝3是原方程的根.
【师生总结】解分式方程.
关键：将分式方程转化为整式方程.
步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)检验；(4)写出方程的解.
简记为：“一化、二解、三检验”.
检验有两种方法：一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母.一般是代入最简公分母检验.
去分母的方法：⑴把各分母分解因式;
⑵找出各分母的最简公分母;
⑶方程两边各项乘最简公分母.
【巩固练习】解分式方程:
-＝45.
解：方程的两边同乘2x，得
960-600＝90x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根.
【合作探究，解决问题】
【小组讨论，师生互学】
在解方程＝-2时，小亮的解法如下：
解：方程的两边同乘x-2，得
1-x＝-1-2（x-2）.
解这个方程，得x＝2.
【教师提问】是原方程的根吗？为什么？
【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，踊跃回答.
答：在上面的方程中,不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零.
【师生总结】
产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.
注意：解分式方程一定要验根！
【示例展示】
当m为何值时，分式方程 + ＝4会产生增根？
解：方程两边都乘x-3，
得1-m＝4（x-3），
解这个方程，得x＝.
∵x＝是原方程的增根，
且原方程的增根是x＝3，
∴＝3，
解得m＝1.
【拓展延伸】
【例1】若关于的方程＝1的解是正数，则的取值范围是 .
【解析】去分母，得2+a＝-1，解得＝-a-1.
∵关于的方程 ＝的解是正数，
∴＞0且≠1，∴-a-1＞0且-a-1≠1，
解得a＜-1且a≠-2.
【答案】a＜-1且a≠-2
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
【例2】若关于的分式方程无解，求的值.
【思考】无解说明什么？两种情况：一是所化成的整式方程无解；二是解得整式方程的解使最简公分母为0.
解：方程两边都乘(+2)(-2)，得2(+2)+m＝3(-2)，
即(m-1)＝-10.
①当m-1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②原方程的解使最简公分母为0，则＝2或＝-2，
当＝2时，代入(m-1)＝-10，得(m-1)×2＝-10，解得m＝-4；
当＝-2时，代入(m-1)＝-10，得(m-1)×(-2)＝-10，
解得m＝6，∴m的值是1，-4或6.
【总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义不一样：分式方程有增根仅仅是指求得的整式方程的解使最简公分母为0；分式方程无解不但包括求得的整式方程的解使最简公分母为0，而且还包括分式方程化为整式方程后无解.
课堂练习
1.以下是方程去分母后的结果，其中正确的是(　　)
A. B.
C. D.
2.若方程＝+有增根，则增根为(　　)
A.0　 B.2　　 C.0或2　 D.1
3.解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) .
参考答案
1.D
2.A
3.解：(1).　(2)- . (3)原分式方程无解.
课堂小结
1.解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
（2）解这个整式方程.
（3）把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整
式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
（4）写出原方程的根.
2.方程的增根：
若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.
产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.
注意：解分式方程一定要验根！
布置作业
请完成本课时对应练习！
板书设计
分式方程的解法
(
分式方程
整式方程
去分母
)1.解分式方程的基本思路
2.解分式方程的一般步骤
3.方程的增根
若求出的解使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根.