1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)（第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共23张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用　
第1章 直角三角形
学习目标
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养分析问题和解决问题的能力．（难点）
新课导入
B
A
C
D
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，你有什么发现？
含30°角的直角三角形的性质
知识讲解
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
D
证明：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有 CD= AB=BD
1
2
因为∠A+∠B=90°， 且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，
于是得：BC=CD=BD= AB.
1
2
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
∴　BC = AB．　　
A
B
C
)
30°
归纳总结
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴　BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
证法1：倍长法
其他证明方法
E
A
B
C
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证法2：截半法
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
E
C
总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
总结：在求三角形边长的问题中，可以构造含30°角的直角三角形解决．本题的关键是作高，再利用等腰三角形及外角的性质得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD= AB=BD=AD,
即△BDC为等边三角形,
∴∠B=60°.
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A=30°.
思考：如图，在Rt△ABC中，如果BC= AB，那么∠A等于多少？
B
C
A
D
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
应用格式：
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，　
A
B
C
BC = AB,　　
∴∠A =30°.
归纳总结
随堂训练
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
B
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
A
B
C
D
1
4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则
AB=______.
A
C
B
8
5、在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
6、在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
含30°角的直角三角形的性质