1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)（第1课时直角三角形的性质和判定 ） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共25张PPT)
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
　
第1章 直角三角形
学习目标
1
2
了解直角三角形两个锐角的关系. （重点）
掌握直角三角形的判定及推论. （重、难点）
3
会运用直角三角形的性质和判定进行相关
计算.（难点）
知识回顾
1.三角形的内角和为　　，特殊的三角形我们学过有哪些？
180°
2.两个角度数之和等于 ，称这两个角互为余角.
90°
D
C
B
A
3.有一个角是 的三角形叫直角三角形。
直角
4.在Rt△中，是斜边上的高，则图中有几个直角三角形？
有3个直角三角形：
Rt△ABC， Rt△ACD， Rt△CBD
直角三角形的两个锐角互余
知识讲解
问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
归纳总结
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
例1 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
解：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？
直角三角形的判定
思考：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.
反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，
又因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
A
B
C
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
归纳总结
例2 如图，在△ 中，∠，∠ ＝ ∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，可证明∠ ∠ . 在△中，已知∠，∠＝∠，易证△是直角三角形.
证明：∵ ∠，
∴ ∠+ ∠.
∵ ∠∠，
∴ ∠ ∠，
∴ △ 是直角三角形.
例3 如图，在△中，边上的高，上一点，于∠∠.
求证：△ 是直角三角形.
分析：要证△是直角三角形，只要证明∠ ∠即可.
证明：∵ 边上的高，
∴ ∠ ∠.
又∵ ∠∠，∠ ＝∠，
∴ ∠ ∠，
∴ △ 是直角三角形.
问题： 如图，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
我测量后发现
CD = AB.
线段CD 比线段AB短.
图2
如图1， 如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A .
由此受到启发，在图2 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 交AB于 ，使 ，
∠ =∠A
则 .
图1
证一证
∴ 点D'是斜边上的中点，即CD' 是斜边AB的中线.
∠A +∠B=90° ，
又∵
，
∴
∴
故得
从而CD与CD' 重合，且
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
例4 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，
求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形
随堂训练
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
4.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数分别为　 度.
C
18
5. 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
6.在△中，⊥于，是∠的平分线，∠，∠，求：
（1）∠的度数；
（2）∠的度数．
解：（1）∵，∴∠.
∵∠，∴∠∠；
（2）∵∠，∠，∠+∠+∠，
∴∠.
∵是∠的平分线，∴∠= ∠，
∴∠=∠+∠，∠．
课堂小结
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.