第8章8.1幂的运算（第2课时 幂的乘方和积的乘方） 教学课件--沪科版初中数学七年级（下）

(共28张PPT)
第 8 章 整式乘除与因式分解
8.1 幂的运算
第2课时 幂的乘方与积的乘方
学 习 目 标
1.经历探索幂的乘方、积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的运算的意义.（重点）
2.会运用幂的乘法和积的乘方的运算性质进行运算.（难点）
新课导入
木星的体积是地球的103倍.
太阳的体积是地球的 (102)3 倍
你知道(102)3等于多少？
地球、木星、太阳可以近似地看作是球体，木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
知识讲解
问题：请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，
观察计算结果，你能发现什么规律？
观察发现： 运算前后底数没有发生变化，最终的指数等于开始算式中两个指数的乘积。
（1）(32)3=32×32×32=3( )
（2） (2)3=2·2·2=( )
（3）()3=··=( )
6
6
3
猜想：(am)n=_____.
amn
推导过程
（幂的意义）
（同底数幂的乘法法则）
（乘法的意义）
(am)n
n个am
n个m
幂的乘方，底数______，指数＿__＿.
语言表述：
不变
相乘
幂的乘方的运算性质（幂的运算性质2）
(am)n= amn(m，n都是正整数）
运算 种类 公式 性质中的运算 计算结果 底数 指数
同底数幂的乘法
幂的乘方
乘法
不变
不变
指数
相加
指数
相乘
乘方
想一想：同底数幂的乘法运算性质与幂的乘方的运算性质有什么相同点和不同点？
幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；
同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
　计算:
例1
(1) (105)3; (2)(4)4; (3)()2; (4)-(4)3.
解： (1) (105)3=105×3 =1015 ;
(2) (4)4=4×4=16;
(3) ()2=×2= 2 ;
(4) -(4)3 =-4×3=-12 .
运用幂的乘方的运算性质进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.
在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
注意：
练一练：
(-a5)2表示2个-a5相乘，其结果是正的.
思考：
(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.理由如下：
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果是负的；
n为偶数
n为奇数
幂的乘方法则的推广
思考：下面这道题该怎么计算？
＝(a6)4
=a24
（m，n，p都是正整数)
由上面的例子你能总结出 等于什么吗？
[(y5)2]2=______=________；
[(x5)m]n=______=______.
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
例2
计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= -a2·a2·a6＋a10
= -a10＋a10 = 0.
（先乘方，再乘除）
（先乘方，再乘除，最后加减）
=x12·x6= x18.
幂的乘方的逆运算：
(1)13·7=（ ）=( )5=( )4=( )10
(2) =( )2 =( ) （为正整数）
20
4
5
2
2
幂的乘方的逆用
(m，n都是正整数）
例3
已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4.
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
问题：填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
猜想：积的乘方(ab)n = anbn (n为正整数)
（1)（）2=()·()=（·）·（·）
=( )( )
（2）（）3=_______________
=___________
=( )( )
2
2
（）·（ ）·（ ）
（）·（)
3
3
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（同底数幂相乘的法则）
推导过程
个
个
个
语言表述：
积的乘方的运算性质（幂的运算性质3）
积的乘方等于各因式乘方的积.
(ab)n = anbn （n为正整数）
想一想：三个或三个以上因式的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
积的乘方公式的推广
积的乘方的运算性质的逆用
anbn = (ab)n （n为正整数）
　计算:
例4
(1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ；
(3) (xy2)2 ； (4) (-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
.
=-125b3.
=x2y4.
=16x12.
(-5)3·b3
x2·(y2)2
(-2)4·(x3)4
注意：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
例5
计算:(0.04)100×[(-5)100]2
=(0.22)100 × 5200
=(0.2)200 × 5200
=(0.2×5)200
=1200
(0.04)100×[(-5)100]2
=1.
解法一：
=(0.04)100× [(-5)2]100
=(0.04×25)100
=1100
=1.
= (0.04)100 ×(25)100
(0.04)100×[(-5)100]2
解法二：
随堂训练
1.
下列各式中，与5+1相等的是（　　）
A.（5)+1　 B.（+1)5
C.·(5) D.
c
2.14不可以写成（　　）
A. 5· (3)3 B. (-) ·(- 2) ·(- 3) ·(- 8)
C.(7)7 D.　
c
3.
下列各式中正确的有几个？（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4.若（2）=8，则=______
5.若[（3）]2=12，则=_______
6.若·=2，求的值.
7.若=3，求（）4的值.
8.已知=2,=3,求的值.
4
2
解： ·= =2 =()3 = 23 =8
解：（ 4 =34 =81
解：= （）2 ·（）3 = 22× 33 =4×27=108
1.比较 355，444，533 的大小。
解： ∵ 355 =（35）11 = 24311
444 =（44）11 = 25611
533 =（53）11 = 12511
∴ 444 ＞355　＞ 533
拓展练习
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种： (1)底数相同，指数越大，幂就越大；
(2)指数相同，底数越大，幂就越大.
2.计算：
（1） 3 · 4· +(2)4+(-2 4)2
（2） 2(3)2 · 3－(3 3)3＋(5 )2 · 7
解: (1)原式= 3+4+1+ 2×4+(-2)2 · (4)2
(2)原式=2 6 · 3－27 9+25 2 · 7
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减。
= 8+ 8+4 8
=6 8
=2 9－27 9+25 9
=0
课堂小结
1、幂的乘方的运算性质
(都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘
语言叙述：
符号叙述：
2、幂的乘方的运算性质的逆用. 即
3、多重乘方也具有这一性质. 如
（其中 都是正整数）
（都是正整数）
幂的乘方运算性质
1、积的乘方的运算性质
语言表述：
积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn （n为正整数）
(abc)n = anbncn （n为正整数）
2.积的乘方运算性质的推广
3.积的乘方运算性质的逆用
anbn = (ab)n （n为正整数）
积的乘方的运算性质