第8章8.3完全平方公式与平方差公式（第2课时平方差公式） 教学课件--沪科版初中数学七年级（下）

(共17张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式和平方差公式
第2课时 平方差公式
学 习 目 标
1
2
经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，知道平方差公式的几何意义．（重点）
掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用平方差公式进行运算.（难点）
新课导入
小霞同学去商店买了单价10.2元/千克的糖果9.8千克，小霞同学马上说：“应付99.96元。”售货员很惊讶：“你真是个神童！”小霞同学说：“过奖了，我只是利用了数学上刚学过的一个公式而已！”
知识讲解
多项式与多项式的乘法法则
(x+1)(x－1)； (2) (a+2)(a－2)；
(3) (3－x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x－1).
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
计算下列各题，你能发现什么规律？
x2 - 12
a2-22
32 - x2
(2x)2 - 12
想一想：这些计算结果有什么特点？
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2 .
a2－ ab+ab－ b2=
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
公式变形：
平方差公式:
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两数的平方差.这就是平方差公式.
3.(－ m+n) (－ m － n) =
m2 － n2.
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
能说明. (a+b)(a－b)=a2－b2 .
图1
图2
平方差公式有什么特点？
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数
右边是相同项的平方减去相反项的平方　
注意： ①公式中的和单项式，也可以是多项式．②只有符合公式结构特征的才能运用公式，否则仍用多项式相乘法则.
运用平方差公式计算：
例1
解：
（4）原式=(-x+1)(-x-1)=
（3）
例2
计算：
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解： (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499.
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
（ ）
化简：
(x4+4 )
(x4+4 )
(x4+4)
例3
解：
随堂训练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x－5y)(－x+5y)
C.(x－y)(x+25y) D.(x－5y)(5y－x)
B
5.利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；（4）20212 － 2020×2022.
解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.
4.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那
么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的
面积，差是________．
10
（4）原式= 20212 － (2021－1)×(2021+1)
= 20212
－ （20212－12 )
=1.
6.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－ x)，其中x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
7.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋
x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝
________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
-63
2n＋1－2　
x100－1　
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2　
a3－b3　
a4－b4　
课堂小结
平方差公式
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.