1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)（第3课时勾股定理的逆定理） 教学课件--湘教版数学八年级（下）

(共29张PPT)
第1章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第3课时 勾股定理的逆定理
第1章 直角三角形
学习目标
1
2
掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点）
能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）
能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点）
3
新课导入
复习引入
B
C
A
问题1：勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
问题2：求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考 ：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
知识讲解
★ 勾股定理的逆定理
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.你认为这个结论正确吗
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
都是直角三角形
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c.
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题：这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5,12,13满足52+122=132,
② 7,24,25满足72+242=252,
③ 8,15,17满足82+152=172.
a2+b2=c2
猜想：
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌ △ A′B′C′ 　　
？
∠C是直角　　　
△ABC是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
　求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证一证:
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
归纳总结
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2) a=13 ，b=14 ，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
（1）找：确定三角形的最长边；
（2）算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
（3）比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
（4）判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
方法技巧
例2 　判断满足下列条件的三角形是否为直角三角形.
（1）在△ABC 中，∠A ＝ 20°，∠B ＝ 70°；
（2）在△ABC 中，AC＝7，AB＝24，BC＝25 ；
（3）一个三角形的三边长a，b，c 满足（a+b)(a-b）＝ c2.
解：（1）在△ABC 中，∵ ∠A+ ∠B＝20°+70°＝90°，
即△ABC是直角三角形.
（2）∵ ，，
∴ .
根据勾股定理的逆定理可知△ ABC 是直角三角形.
（3）∵（a+b)(a-b）＝， ∴ - ＝ ，即 ＝ + .
根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.
判定三角形为直角三角形的方法
（1）用角判断：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形；
②有一个角是90°的三角形是直角三角形；
（2）用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断.
方法技巧
★ 勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例3 下列几组数为勾股数的是（　　）
A.4，5，6 　　 B.12，16，20 　　
C.-10，24，26 　 　D.2.4，4.5，5.1
解析：
B
★ 勾股定理的逆定理的应用
例4 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
1
2
N
E
P
Q
R
分析：已知是什么？要解决的问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
总结：解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
例5 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
★ 勾股定理及其逆定理的综合应用
x
例6 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
D
B
C
3
4
13
12
解：连接AC.
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
例7 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
C
B
A
D
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5m.
又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD
= BD CD－ AB AD
= ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
随堂训练
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠B=∠C-∠A
B.
C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3
D.a : b : c=5 : 4 : 3
C
3.已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为大
于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
5.如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．
解：如图，过点B作BE∥AD.
∴∠DAB＝∠ABE＝53°.
∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，
∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
∴AC＝500m，
即A、C两点间的距离为500m.
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3.
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得
6.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
课堂小结
勾股定理的逆定理
内容
如果三角形的三边长a ，b ，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
作用：从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形
勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题