8.3实际问题与 二元一次方程组 第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题 教学课件--人教版初中数学七年级下

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第 八 章 二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
8.3　实际问题与二元一次方程组
第一课时　利用二元一次方程组解决实际问题
学 习 目 标
1
2
能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.（重点）
学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题. （重点、难点）
新课导入
问题1：解二元一次方程组主要有哪几种方法？
复习引入
问题2：列一元一次方程解决实际问题的步骤有哪些？
审、设、列、解、验、答
代入消元法和加减消元法
知识讲解
★ 列方程组解简单的实际问题
探究1 养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20 kg，每只小牛1天约需饲料7到8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
问题1：题目中哪些是未知量，你如何设未知数？
未知量 每头大牛1天需用的饲料;
每头小牛1天需用的饲料.
问题2：题目中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数 设每头大牛和每头小牛平均1天各需用
饲料为xkg和ykg，
问题3：如何解决这一问题？
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克较准确，估计每头小牛一天需用7到8千克偏高了.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解方程组：x= ,
y= .
20
5
例1 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？
解：设该公司应安排x天精加工，y天粗加工，
x+y=15，
6x+16y=140，
解得
x=10，
y=5.
答：该公司应安排10天精加工，5天粗加工.
依题意得
分析：题中的未知量为精加工和粗加工的天数，
等量关系有：精加工的天数+粗加工的天数=15；
精加工的蔬菜+粗加工的蔬菜=140.
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的相等关系；
（2）设：恰当地设未知数；
（3）列：依据题中的相等关系列出方程组；
（4）解：解方程组，求出未知数的值；
（5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
（6）答：写出答案.
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
（2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5300名学生就餐？请说明理由.
练一练
解: (1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名,y名学生就餐，
x+2y=1680，
2x+y=2280，
解得:
x=960，
y=360.
(2)若7个餐厅同时开放，则有5×960+2×360=5320>5300.
答： (1) 1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名,360名学生就餐.
(2)若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5300名学生就餐.
依题意得
★ 列方程组解几何问题
探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
问题1：这实际是一个什么问题？
长方形面积的分割问题
问题2：把长方形分割成两个长方形有哪些分割方法？
（1）竖着分割，把长分成两段，宽不变；
（2）横着分割，把宽分成两段，长不变.
我们一起来分割一下吧！
分析：（1）竖着分割，把长分成两段，则宽不变.
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系有几个？
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
S长方形AEFD=100x，
S长方形EFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1，
乙：100y×2
列方程
100x:200y=3:4
总产量=
1 : 2
x
y
200m
100m
则
x+y=200.
单位面积产量×面积
分析：（1）竖着分割，把长分成两段，则宽不变.
分析：（2）横着画，把宽分成两段，长不变.
A
D
C
B
E
x
y
F
则 x+y=100
设DE＝xm，AE＝ym.
200m
100m
等量关系：（1）大长方形的宽=100m；
（2）甲、乙两种作物总产量比=3:4.
先求出两种作物的面积
S长方形CEFD=200x，
S长方形EABF=200y
再写出两种作物的总产量
甲：200x×1，
乙：200y×2
列方程
200x:400y=3:4
解：（1）竖着分割，把长分成两段，则宽不变.
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4，
x
y
200m
100m
x+y=200，
解得
x=120，
y=80，
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
故将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
（2）横着画，把宽分成两段，长不变.
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100，
乙种作物
甲种作物
过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4，
200y
200x
x=60，
y=40.
解得
根据题意列方程组为
200m
100m
故将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
例2 如图，一个大长方形是由7 个大小相等的小长方形拼成的，大长方形的周长是34 cm， 求小长方形的长和宽.
随堂训练
1.有几个人一起买一件物品，没人出8元多3元；每人出7元，少4元.问有多少人？该物品价值多少元？
8x-3=y，
7x+4=y.
解:设有x人,该物品价值为y元,
由题意,得
解此方程组得
x =7,
y=53.
即有7人，该物品价值53元.
2.我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？
解得
故鸡有23只，兔有12只.
解：设鸡有x只，兔有y只.
则
3.一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，求原长方形的长与宽.
解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：
x-4
4
y
2
Ⅰ
Ⅱ
解得
即原长方形的长与宽分别为8cm和2cm.
4.甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：（1） 同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2） 同时出发，相向而行
甲出发点
乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
即甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
课堂小结
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
审题：弄清题意和题目中的数量关系
设元：用字母表示题目中的未知数
列方程组:根据两个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
几何问题