5.1.2 垂线 教学课件--人教版初中数学七年级下

(共25张PPT)
第 五 章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.2 垂线
学习目标
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
它们解决问题. （重点、难点）
新课导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
知识讲解
一、垂线
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的
位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、
∠BOC的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1.垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
（1）如果直线AB与直线CD垂直，那么
可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
（2）如果用l、m表示这两条直线，那
么直线l与直线m垂直，可记作：
l⊥m（或m⊥l）.
（3）把互相垂直的两条直线的交点叫
作垂足（如图中的O点）.
A
B
C
D
O
l
m
2.垂直的表示法
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义） .
3.垂线的判定
例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,
则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则
∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶3，那么∠COA＝____ ,∠BOC的补角
为 .
O
a
b
1
B
C
A
O
a⊥b
90°
60°
150°
图1
图2
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动1
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2
折一折
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
例2如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°，
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为AO⊥BC，
所以∠AOC＝90°，
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
二、垂线的画法及基本事实
问题：
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条
A
.B
l
.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
l
O
（1）如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
无数条
l
A
1.放
2.靠
3.移
4.画
（2）如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
（3）如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
垂线的性质
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
唯一性.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C
D
E
l
1.线段AB, AC, AD , AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
试一试：
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
三、点到直线的距离
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
特别规定：
D
l
A
随堂训练
1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A.相等
B.互余
C.互补
D.互为对顶角
B
2.如图，点C到直线AB的距离是指( )
A.线段AC的长度
B.线段CD的长度
C.线段BC的长度
D.线段BD的长度
B
3.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若
∠CEF=58°，则∠BED的度数为 .
C
A
B
E
F
D
32°
5.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 .
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；
②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．
①②③④
6.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.
(1)过点O画直线MN⊥CD；
(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．
解：(1)如图所示．
(2)①当点F在射线OM上时．
因为OE⊥AB，MN⊥CD，
所以∠EOB＝∠MOD＝90°，
所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，
所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.
②当点F在射线ON上时，如图中点F′.
因为MN⊥CD，
所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，
所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，
所以∠BON＝∠AOM＝55°，
所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，
即∠EOF的度数是35°或145°.