17.4反比例函数（2. 反比例函数的图象和性质） 教学课件--华师大版数学八年级（下）

(共21张PPT)
第17章 函数及其图象
17.4 反比例函数　
第17章 函数及其图象
2. 反比例函数的图象与性质
学 习 目 标
1.理解反比例函数的图象是双曲线，利用描点法画出反比例函数的图象，说出它的性质．（重点）
2.会用待定系数法求反比例函数的解析式．（难点）
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的定义中需要注意什么？
（1）k 是非零常数；　　　　　 （2）自变量x的次数为-1；
（3）自变量x的取值范围x≠0；　（4）xy = k．
一般地，形如 　 （ k是常数，k ≠0 ）的函数叫做反比例函数．
3．画函数图象的一般步骤：
列表、描点、连线．
我们知道，一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么形状呢？你能用描点的方法画出函数的图象吗？
新课导入
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
… …
例1 画出反比例函数 的图象．
解：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值表：
-2
-3
-6
6
3
2
-1
1
注意：①列表时自变量取值要均匀和对称．
②x≠0．
③选整数较好计算和描点．
合作探究
1.反比例函数图象的画法
为什么不能将所有这些点用一条曲线连起来？
反比例函数的图象是双曲线
观察函数图象回答：
（1）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
（2）函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每个象限内，y随x的变化如何变化？
答：（1）只会无限接近x轴和y轴，但永不和它们相交；
（2）一、三象限；
（3）在每个象限内， y随x的增大而减小.
合作探究
观察函数图象回答：
（1）函数的图象分别位于哪几个象限？
（2）在每个象限内，y随x的变化如何变化？
（3）观察两个函数 和 的图象，你得到什么结论？
画函数 的图象，并观察函数的图象是否还具有上述结论．
k＞0,图象在第一和第三象限，在每个象限内y随x的增大而减小．
合作探究
在同一平面直角坐标系中画出函数 和 的图象，观察图象回答下列问题．
（1）函数的图象分别位于哪几个象限？
（2）在每个象限内，y随x的变化如何变化？
（3）反比例函数 的图象在哪个象限由什么确定？
k＜0 时，图象在第二和第四象限，在每个象限内y 随x的增大而增大．
合作探究
反比例函数　　 和　　 的图象有什么
共同的特点？它们之间有什么关系？
图象都是双曲线，它们的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对称．
反比例函数　　的图象的两个分支之间有什么关系？　　
两个分支关于原点成中心对称．
合作探究
（1）反比例函数的图象是双曲线；
（2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大；
（4）反比例函数的图象关于x轴和y轴成轴对称，关于原点成中心对称．
反比例函数 　　的图象及其性质：
知识讲解
k的取值 图象的性质(特征) 函数性质
k>0 图象分布在第__ __象限；在每个象限内，曲线从左向右__ ；每一支无限靠近坐标轴，但不与坐标轴相交． 在每个象限内，y随x的增大而
__ ．
k<0 图象分布在第__ __象限；在每个象限内，曲线从左向右__ __；每一支无限靠近坐标轴，但不与坐标轴相交． 在每个象限内，y随x的增大而
_______．
一、三
下降
减小
二、四
上升
增大
[注意] “在每一象限内”不可丢掉．因为当k＞0时，整个图象并非y随x的增大而减小，只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小，当k<0时也类似．
反比例函数　　的图象和性质（表格梳理）：
知识讲解
例2 已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝ ，求这个反比例函数的表达式．
分析：我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式．同样，我们可以用待定系数法求这个反比例函数的表达式．
解：设这个反比例函数为 （其中k为待定系数）．
由已知，当x＝2时，y＝ ，可得 ．
可以求得k＝ ．
所以这个反比例函数的表达式是 ．
例题讲解
2.反比例函数比例系数的几何意义
过双曲线 任意一点 分别作 轴、 轴的垂线 ，连接 .
∵∴
∴ .
合作探究
如图，矩形的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点,则该反比例函数的解析式是（ ）
A.B. C. D.
例 3
解析：
C
过点作⊥，
由反比例函数的几何意义可知，△ ，
又因为反比例函数图象在第一象限，所以，
由矩形的性质可知△
即 ，
解得.
所以，所以
合作探究
根据图中点的坐标:
（1）求出与的函数解析式；
（2）如果点在双曲线上，求的值.
（3）比较绿色部分和黄色部分的面积的大小.
（3）绿色部分和黄色部分的面积相等，都等于︱︱
答案：（1） （2）
练一练
合作探究
确定反比例函数关系式中k的方法：
一组值确定法：当x＝a，y＝b时，k＝ab；一个点确定法：已知点(a，b)，k＝ab；
长方形面积确定法：|k|＝长方形的面积．
归纳总结
合作探究
例4 已知点A（-2，y1），B（ -1，y2），C（ 3，y3）都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系．
解：∵4>0，
∴该反比例函数的图象在一、三象限，
又A（-2，y1），B（ -1，y2）在第三象限，且－2<－1，
∴ y2 ∵点C（ 3，y3）在第一象限，
∴ y3 >0，
∴ y3 > y2 > y1 ．
例题讲解
一、三
二、四
一
减小
增大
减小
1、函数 的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
2、 函数 的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________.
3、函数 ，当x>0时，图象在第____象限，y随x的增大而_________.
4、若反比例函数 的图象的一个分支在第三象限，则m的取值范围是_________.
当堂检测
5、如图，反比例函数图象上一点A与坐标轴围成的长方ABOC的面积是8，求该反比例函数的表达式．
解：设点A的坐标为(x，y)，又根据长方形ABOC的面积数值和点A(x，y)的关系可得：S长方形ABOC＝|xy|＝|k|＝8，解得k＝±8．又因为该函数的图象在第一、三象限，故根据反比例函数的性质可得k＝8，由此得这个反比例函数的表达式为　　．
当堂检测
（1）图象的另一支位于第三象限，n<-7．
（2） k=n+7<0，y随x的增大而增大，∴a＜a'时，b＜b'．
6、如图是反比例函数 的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限，常数n的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b），B（a'，b'），如果a当堂检测
1、反比例函数　　的图象及其性质．
2、确定反比例函数关系式中k的方法．
（1）反比例函数的图象是双曲线；
（2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大．
一组值确定法：当x＝a，y＝b时，k＝ab；一个点确定法：已知点(a，b)，k＝ab；
长方形面积确定法：|k|＝长方形的面积．
课堂小结