《6.2太阳与行星间的引力》基础导学
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【学习目标】
1．理解太阳与行星间引力的存在
2．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式
【学习重点】据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式．
【学习难点】太阳与行星间的引力公式的推导过程．
【自主学习】先阅读课本，再回答问题
引导：既然行星围绕太阳运动的轨道是 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆，即为曲线运动，那么肯定有一个力要来维持这个运动，那么这个力是由什么来提供的呢？我们跟随着科学家们一起去研究讨论这个问题。
一、太阳对行星的引力
（B级）1、设行星的质量为m，速度为v， ( http: / / www.21cnjy.com )行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动，写出行星需要的向心力表达式，并说明式中符号的物理意义。
（B级）2、行星运动的线速度v与周期 ( http: / / www.21cnjy.com )T的关系式如何？天文观测难以直接得到行星的速度v，但可以得到行星的公转周期T，写出用T表示向心力的表达式。
（B级）3、如何应用开普勒第三定律消去 ( http: / / www.21cnjy.com )周期T？写出消去周期T后向心力的表达式。（引导：这是行星需要的向心力，我们要求的是太阳对行星的引力，这两个力有关系吗？）
（B级）4、写出太阳对行星的引力F与距离r的比例式，说明比例式的意义。
（C级）5、结论：太阳对不同行星的引力，与行星的 成正比，与行星和太阳间的 成反比。
二、行星对太阳的引力
（C级）行星对太阳的引力与太阳的质量M以及行星到太阳的距离r之间又有何关系？根据什么得出的？
（C级）太阳与行星间的引力概括起来有什么关系式？太阳与行星间的引力大小表达式为？方向呢
【合作探究】
1、（A级）两颗行星都绕太阳做 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速圆周运动，它们的质量之比m1：m2=p，轨道半径之比r1：r2=q，则求它们的公转周期之比，它们受到太阳的引力之比。
（提示：求公转周期比选用开普勒第三定律，求引力比直接选用本节课的规律）
2、（A级）火星绕太阳的运动可看作匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力。已知火星运行的轨道半径为r，运行的周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量M的表达式。
【自我检测】
1、（C级）行星之所以绕太阳运动，是因为 ( )
行星运动时的惯性作用
太阳是宇宙的控制中心，所以星体都绕太阳旋转
C、太阳对行星有约束运动的引力作用
D、行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
2、（B级）下面关于太阳对行星的引力说法中的正确的是 ( )
A、太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B、太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C、太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D、太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
3、（A级）关于太阳与行星间引力的下列说法中正确的是 ( )
A、公式中的 G 是比例系数，是人为规定的
B、这一规律可适用于任何两物体间的引力
C、太阳与行星的引力是一对平衡力
D、检验这一规律是否适用于其它天体的方法是比较观测结果与推理结果的吻合性《6.3万有引力定律》基础导学
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【学习目标】1．理解万有引力定律及使用条件；
2．学会使用万有引力定律进行计算。
【学习重点】对万有引力定律的理解及应用
【学习难点】万有引力定律的使用条件的理解．
【自主学习】先阅读课本，再回答问题
1、万有引力定律：自然界中任何两个物 ( http: / / www.21cnjy.com )体都 ，引力的大小与 成正比，与 成反比。用公式表示为 ，其中G叫做 ，数值为 。
2、万有引力适用的条件： 万有引力公式 ( http: / / www.21cnjy.com )中，对于距离较远的可以看做质点的物体来说，r是指 的距离，对于均匀球体，指的是 。
3、万有引力定律的适用条件
（1）万有引力定律适用于 间的相互作用；
（2）质量分布均匀形状规则的物体间，距离r为两物体 间的距离；
4、小计算：我们粗略的来计算一下两个质量为50kg，相距0.5m的人之间的引力。
并思考：为什么我们只能粗略的计算？
【合作探究】
探究一： 月－地检验（阅读教材38页“月－地检验”部分的内容，完成下列问题）
地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，月球绕地球运动的周期为27.3天，地球半径为R =6.4×106m，轨道半径为地球半径的60倍。设质量为m的物体在月球的轨道上运动的加速度（月球公转的向心加速度）为a，则，，r=60R，
运动学角度得 ，
代入数据解得 。
从引力角度得 月球位置物体受到地球引力，
地球表面物体满足，两式相比得
试通过上面计算结果，结合教材39页最上方的内容，你能得出什么结论？
探究二： 两个物体的质量分别是m1和m2，当它们相距为r时，它们之间的引力是F=__________。
若把m1改为2m1，其他条件不变，则引力为______F。
(2)若把m1改为2m1，m2改为3m2，r不变，则引力为 F。
（3）若把r改为2r，其他条件不变，则引力为_____ F。
(4)若把ml改为3m1，m2改为m2/2，r改为r/2，则引力为_________F。
探究三： 火星的半径是地球半径的一半 ( http: / / www.21cnjy.com )，火星的质量约为地球质量的1/9；那么地球表面50 kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的________倍.
过程分析：
探究四： 两个质点之间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )为r，它们之间的万有引力为10-8N，若它们的质量都加倍，距离也加倍，其万有引力的大小为 。
过程分析：
【自我检测】
1、（C层）在万有引力定律的公式中，r是 ( )
A．对星球之间而言，是指运行轨道的平均半径
B．对地球表面的物体与地球而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离
D．对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
2、（B层）要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法不可采用的是（ ）
A.使两物体的质量各减小一半，距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变
C.使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D.使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4《6.5宇宙航行》基础导学
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【学习目标】
1、正确理解人造卫星做圆周运动时，各物理量之间的关系。
2、知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。
【学习重点】对第一宇宙速度的推导过程和方法，了解第一宇宙速度的应用领域
【学习难点】1、人造地球卫星的发射速度与运行速度的区别。
2、掌握有关人造卫星计算及计算过程中的一些代换。
【自主学习】
1、（C级）牛顿对人造卫星原理是怎样描绘的？
2、（C级）人造卫星绕地球运行的动力学原因是什么？
人造卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造卫星作圆周运动的向心力由 提供。
3、（C级）（1）第一宇宙速度
①大小：__________②意义：第一宇宙速度是人造卫星在地面附近 的速度，所以也称为环绕速度。
（2）第二宇宙速度
①大小：__________②意义 ( http: / / www.21cnjy.com )：使卫星挣脱__________的束缚，成为绕_________运行的人造行星的最小发射速度，也称为脱离速度。
（3）第三宇宙速度。
①大小： 。②意义：使卫星挣脱 束缚的最小发射速度，也称为逃逸速度。
【合作探究】
1、（B级）人造卫星的运行速度。
设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为r，由于万有引力提供向心力，则人造卫星的运行速度表达式：
2、（B级）角速度和周期与轨道半径的关系是什么？
3、（B级）有两颗人造卫星，都绕 ( http: / / www.21cnjy.com )地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比r1：r2＝4：1，求这颗卫星的：⑴线速度之比；⑵角速度之比；⑶周期之比；⑷向心加速度之比。
4、（C级）地球半径为6400km，在贴近地表附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星速度为7.9×103m/s，则周期为多大？
5、（A级）交流与讨论：能否发射一颗周期为80min的人造地球卫星？
【自我检测】
1．（C级）人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ）
A.速度越小，周期越小 B.速度越小，周期越大
C.速度越大，周期越小 D.速度越大，周期越大
2、（B级）人造地球卫星的质量为m ( http: / / www.21cnjy.com )，环绕地球的线速度为v，角速度为ω，轨道半径为R，地球的质量为M．当人造地球卫星的轨道半径为2R时，下列说法中正确的是 ( )
A．根据，卫星的线速度减小为v／2
B．根据，卫星的线速度增大为
C．根据，卫星的角速度减小到ω／2
D．根据F=，卫星的向心力减小到原来的
3、（A级）已知地球质量约 ( http: / / www.21cnjy.com )为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，在地球上发射近地卫星的环绕速度为7．9 km／s，周期为84 min．那么在月球上发射—颗近月卫星的环绕速度多大 它的周期多大 第六章 小测试
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【当堂检测】
1、第一宇宙速度是物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度,则有（ ）
A.被发射的物体质量越大,第一宇宙速度越大
B.被发射的物体质量越小,第一宇宙速度越大
C.第一宇宙速度与被发射物体的质量无关
D.第一宇宙速度与地球的质量有关
2、低轨道人造地球卫星在运行过程中由 ( http: / / www.21cnjy.com )于受到稀薄大气的阻力作用，轨道半径会逐渐变小，在此过程中，对于以下有关各物理量变化情况的叙述中正确的是（ ）
A.卫星的线速度将逐渐增大
B.卫星的环绕周期将逐渐增大
C.卫星的角速度将逐渐增大
D.卫星的向心加速度将逐渐增大
3、我国于1986年2月1日成功发射了 ( http: / / www.21cnjy.com )一颗实验地球同步卫星,于1999年11月20日又成功地发射了“神舟”号实验飞船,飞船在太空中飞行了21 h,环绕地球运转了14圈,又顺利地返回地面,那么此卫星与飞船两者相比较（ ）
A.卫星运转周期比飞船大
B.卫星运转速率比飞船大
C.卫星运转加速度比飞船大
D.卫星离地高度比飞船大
4、两颗人造地球卫星，质量之比m1∶m2=1∶2，轨道半径之比R1∶R2=3∶1,下面有关数据之比正确的是（ ）
A.周期之比T1∶T2=3∶1
B.线速度之比v1∶v2=3∶1
C.向心力之比为F1∶F2=1∶9
D.向心加速度之比a1∶a2=1∶9
检测评价：
【巩固练习】
1、甲、乙两个质点间的万有引力大小为F， ( http: / / www.21cnjy.com )若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原来的2倍，同时，它们之间的距离减为原来的1/2，则甲、乙两物体间的万有引力大小将变为（ ）
A.F B.F/2 C.8F D.4F
推导过程：
2、据报道“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕 ( http: / / www.21cnjy.com )月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为（月球半径取1700 km）（ ）
A. B. C. D.
推导过程：
3、月亮绕地球转动的周期为T,轨道半径为r, ( http: / / www.21cnjy.com )则由此可得地球质量表达式为_________,若地球半径为R,则其密度表达式为_________.
推导过程：
《7.2功》基础导学一
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【学习目标】
(1)理解功的概念和做功两个要素。
(2)会利用公式进行有关运算．
【要点分析】
学习重点： 学习难点：
功的概念及功的计算。 利用功的定义式解决有关问题。
【自主学习】
（仔细观察教材p52页甲、乙、丙三幅图）
1、（C层）举例说明什么是做功的过程，做功的过程需要满足什么条件？
2、（C层）如果力的方向与物体的运动方向一致，该怎样计算功呢？
问题一：物体m在水平力F的作用下水平向前行驶的位移为s，如图甲所示，求力F对物体所做的功。（思考：质量在本题中有用么？）
3、（B层）思考：如果力的方向与物体的运动方向成某一角度，该怎样计算功呢？
问题二：物体m在与水平方向成α ( http: / / www.21cnjy.com )角的力F的作用下，沿水平方向向前行驶的距离为s，如图乙所示，求力F对物体所做的功。（思考：质量在本题中有用么？）
【合作探究】
1：（A层）引导：通过上边的学习，我们已明确了力F和位移s之间的夹角α，
并且知道了它的取值范围是０°≤α≤ ( http: / / www.21cnjy.com )180°。那么，在这个范围之内，cosα可能大于0，可能等于0，还有可能小于0，从而得到功W也可能大于0、等于0、小于0。请画出各种情况下力和位移关系示意图，并加以讨论。
当α=π/2时， 当α＜π/2时， 当π/2＜α≤π时，
总结：力对物体做正功或负功时有什么物理意义呢？结合生活实际，举例说明。
2：（A层）一个质量m=2k ( http: / / www.21cnjy.com )g的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F1=10N，在水平地面上移动的距离s=2m。物体与地面间的滑动摩擦力F2=4.2N。求：
（1）、F1、F2分别对物体做的功，并分别说明作正功还是负功。
（2）、F1、F2对物体做的总功。
思考：对第二问能不能先求合力，再求合力的功，结果是否一致，写下自己的计算过程？《6.5宇宙航行》测试训练
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【当堂检测】
（C层）1.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是( )
A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B.它是近地圆轨道上人造地球卫星的运行速度
C.它是使卫星进入近地圆轨道的最小发射速度
D.它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度
（B层）2．关于环绕地球运转的人造地球卫星，有如下几种说法，其中正确的是 ( )
A. 轨道半径越大，速度越小，周期越长
B. 轨道半径越大，速度越大，周期越短
C. 轨道半径越大，速度越大，周期越长
D. 轨道半径越小，速度越小，周期越长
（B层）3.人造地球卫星绕地球作匀速圆周运动，其速率是下列的 ( )
A．一定等于7.9 km/s B. 等于或小于7.9 km/s
C. 一定大于7.9 km/s D. 介于7.9 km/s~11.2 km/s
（A层）4.由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动.对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是（ ）
A.向心力都指向地心
B.速度等于第一宇宙速度
C.加速度等于重力加速度
D.周期与地球自转的周期相等
检测报告：
【巩固练习】
1、人造地球卫星在地面附近绕地球做圆规道运行时，速度为,如果将它发射至半径为二倍地球半径的高空轨道，那么它的运行速度是 ＿。
推导过程：
2、两颗人造地球卫星和的质量比，轨道半径之比，某一时刻它们的连线通过地心，则此时它们的线速度之比 ＿，向心加速度之比 ＿，向心力之比＿ 。推导过程：
3、已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g,不考虑地球自转的影响.
（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
本章专题训练案
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【训练目标】
1、了解卫星轨道和卫星变轨原理；
2、熟悉同步卫星相关知识；
【学习重点】同步卫星的常识
【学习难点】卫星变轨原理
【训练习题】
一、卫星轨道常识
卫星由万有引力提供向心力，万有引力指向地心，从这里出发，探究卫星轨道有什么特点。
探究1 能否发射一颗轨道面和任意纬度圈（赤道除外）重合的卫星？（提示：看卫星所受万有引力是否指向地心）
探究2 能否发射一颗轨道面和任意经度圈重合的卫星？（提示：考虑地球的自转）
结论：卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必须与 重合，只要圆心在
上，就可能是卫星绕地球运行的圆轨道。
巩固练习：可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B、与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对于地球表面是静止的
D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对于地球表面是运动的
二、地球同步卫星
相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星。
周期T=24h；
同步卫星高度固定不变
代入数据，解得
探究 同步卫星的线速度和角速度大小变不变？若不变各为多少？
巩固练习：同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星 ( )
A．它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值
B．它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的
C．它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值
D．它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的
三、卫星变轨
发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地 ( http: / / www.21cnjy.com )圆轨道1，然后在圆轨道1的Q点经点火使卫星沿椭圆轨道2运行，待卫星到椭圆轨道2上距地球最远点P处，再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，如图7-2所示．则卫星在轨道1、2和3上正常运行时，有： ( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经Q点的加速度等于它在轨道2上经Q点的加速度
D．卫星在轨道2上运行时经过P点的加速度跟经过Q点的加速度相等
四、赤道上物体的加速度与卫星向心加速度的区分
1、赤道上物体受万有引力和地面给的支持力，支持力大小不知道，与物体同地球一起自转则，
2、近地卫星离开了地面，万有引力完全提供向心力，
3、同步卫星的加速度， （T表示地球自传周期，R表示地球半径）
探究 比较以上三者加速度的大小？《6.1行星的运动》基础导学
姓名 班级 组别 使用时间
【学习目标】
1、了解地心说和日心说两种对立的观点的差异所在
2、识记开普勒三大定律
3、能用开普勒三定律分析一些简单的行星运动问题
【学习重点】开普勒三大行星运动定律。
【学习难点】椭圆的有关知识。
【自主学习】先阅读课本，再回答问题
一、古代对行星运动规律的认识
解释什么是“日心说”和“地心说”，同时谈谈你的看法。
“地心说”的代表人物：托勒密(古希腊)． ( http: / / www.21cnjy.com )“地心说”符合人们的直接经验，同时也符合势力强大的宗教神学关于地球是宇宙中心的认识，故地心说一度占据了统治地位．
二、开普勒行星运动定律的内容（发挥自己的智慧，给三大定律再命个别称吧！）
开普勒第一定律：
开普勒第二定律：
开普勒第三定律：
说明：开普勘定律不仅适用于行星绕大阳运动， ( http: / / www.21cnjy.com )也适用于卫星绕着地球转，K是一个与行星质量无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，K值不相同。K与中心天体有关。
如：行星绕太阳转就有（k只与太阳的质量有关）
卫星绕地球运转就有（k只与地球的质量有关）
【合作探究】
1、（C层）行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上行星在远日点的速率与在近日点的速率谁大？说明原因。
2、（B层）利用开普勒第三定律判断下列说法是否正确
①.行星轨道的半长轴越长，自转周期就越长
②.行星轨道的半长轴越长，公转周期就越长
③.水星轨道的半长轴最短，公转周期就最长
冥王星离太阳“最远”，公转周期就最长
3、（A层）已知木星绕太阳公转的周期是地球绕太阳公转周期的12倍。则木星绕太阳公转轨道的半长轴为地球公转轨道半长轴的多少倍？
思维指导： 木星和地球均为绕太阳运行的行星，可利用开普勒第三定律直接求解。本题考查开普勒第三定律的应用。
4、（A层）地球的公转轨道接近圆，但彗星的 ( http: / / www.21cnjy.com )轨道则是一个非常扁的椭圆。哈雷彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并将每隔一定时间就会出现。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下一次飞近地球将在那一年？（试试模仿大科学家）
拓展铺垫：行星的轨道十分接近圆，太阳处在圆心（详见课本图6.1-3），此时行星的轨道半长轴就成为圆轨道的半径，开普勒第三定律写为：.
【课堂小结】
1、把错题修改到反思纠错栏内；
2、总结出开普勒第三定律的解题步骤。
【巩固夯实】
（C层）1．.从天文望远镜 ( http: / / www.21cnjy.com )中观察到银河系中有两颗行星绕某恒星运行，两行星的轨道均为椭圆，观察测量到它们的运转周期之比为8:1，则它们椭圆轨道的半长轴之比为
A.2:1 B.4:1 C.8:1 D.1:4
（B层）2．某小行星到太阳的距离是地球到太阳距离的8倍，这个小行星绕太阳运行的公转周期是多少年？
（A层）3．一种通信卫星需要“静止” ( http: / / www.21cnjy.com )在地面上空的某一点，因此它的运行周期必须与地球自转周期相同。请估算：通信卫星离地心的距离大约是月心离地心的距离的几分之一？（提示：月亮绕地球公转周期约为27天）
地球轨道
彗星轨道《6.4万有引力理论的成就》基础导学
姓名 班级 组别 使用时间
【学习目标】1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用；
2、会用万有引力定律计算天体质量。
3、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。
【学习重点】1、理解行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。
2、会用已知条件求中心天体的质量。
【学习难点】根据已有条件求中心天体的质量。
【自主学习】
1.阅读教材41页“科学真是迷人”部分的内容，思考问题：
（1）推导出地球质量的表达式，说明卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？
（2）设地面附近的重力加速度g=9.8m/s ( http: / / www.21cnjy.com )2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。
2.阅读教材“天体质量的计算”部分的内容，同时考虑下列问题：
（1）求解天体质量的方程依据是什么
（2）根据向心力的其他公式，天体的质量还有没有其他求法？（只列出方程公式）
3.阅读课文“发现未知天体”部分的内容，考虑以下问题：
（1）应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上有何应用？
（2）应用万有引力定律发现了哪些天体？
【合作探究】（注意计算题解题的规范性）
1.（A层）某人在某一星球高h处释放一物体， ( http: / / www.21cnjy.com )经时间t落到地面，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？（指点迷津：近地卫星可以认为卫星所受的引力等于它的重力。该题分两步走，一、思考题干第一句描述物体自由落体运动能求出什么？二、人造卫星谁提供向心力，如何列方程才能求出速度？）
2.（B层） 一艘宇宙飞船绕 ( http: / / www.21cnjy.com )一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度？（指点迷津：参考自主学习第2题）
3.（B层）已知月球的质量是7. ( http: / / www.21cnjy.com )3×1022kg,半径是1.7×103km，月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表面的行动会产生什么影响？（指点迷津：月球表面物体的重力就等于物体所受月球的万有引力）
【自我检测】
（B级）1.若已知行星绕太阳公转的半径r，公转周期T，万有引力常量G，则由此可求出（ ）
A、该行星的质量 B、太阳的质量 C、该行星的密度 D、太阳的密度
(A级)2.已知地球的半径为R，地面的重力 ( http: / / www.21cnjy.com )加速度为g，引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________.
真迹墨宝（我的推导过程）：
